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1、第四章 一阶逻辑基本概念,2,引言,命题逻辑中：原子命题是命题演算中最基本的单位，不再对原子命题进行分解。缺点：无法研究命题的内部结构；无法表达命题之间的内在联系和数量关系；无法处理一些简单又常见的推理过程。,3,引言,例：苏格拉底论证是正确的，但不能用命题逻辑的推理规则验证结论的有效性。p：所有的人总是要死的。q：苏格拉底是人。r：所以苏格拉底是要死的。(pq)r不是重言式，不能判定pqr。谓词逻辑：对原子命题进行了再分，引入个体词、谓词、量词等概念。,41 一阶逻辑命题符号化,5,个体词和谓词,在谓词逻辑中，可将原子命题分解为谓词与个体词两部分。如“苏格拉底”、“张三”是个体词，“是要死的
2、”是谓词。个体词：命题中所描述的对象。如李明，自然数，计算机，思想等。可以是具体的，也可以是抽象的。,6,个体词和谓词,谓词：用于刻划个体的性质或个体之间关系。例，(1)李明是学生。(2)张亮比陈华高。(3)陈华坐在张亮与李明之间。个体词：李明，张亮，陈华谓词：“是学生”，“比高”，“坐在与之间”。通常，用大写字母表示谓词，小写字母表示个体词。如，上述命题可分别表示为：,P(a),Q(b,c),R(c,b,a),a:b:c:,7,个体词和谓词,一般地，由n个个体词和一个谓词所组成的命题可表示为P(a1,a2,an)。注意：a1,a2,an的排列次序是重要的。例，a:武汉;b:北京;c:广州P：
3、位于和之间P(a,b,c)：武汉位于北京和广州之间。说明：P(a,b,c)是真，但P(b,a,c)是假，是两个不同的命题。,谓词,n个个体词,8,个体词和谓词,个体常量：表示具体的或特定的个体。一般用小写字母a,b,c,表示。个体变量：表示不确定的个体，泛指。常用x,y,z表示。谓词常量：表示特定的谓词，表示具体的性质和关系。谓词变量：表示不确定的谓词，泛指。,9,个体词和谓词,例设H表示谓词：“能够到达山顶。”个体词：w:王红；t:老虎；c:汽车，则H(w)：王红能够到达山顶。H(t)：老虎能够到达山顶。H(c)：汽车能够到达山顶。这里w,t,c均是个体常量，H为谓词常量。H(x)：x能够到
4、达山顶。x是不确定的，是个体变量。,10,个体词和谓词,例L(x,y,z)表示“x+y=z”，其中x,y,z为个体变量，L为谓词常量。L(3,2,5)表示命题“3+2=5”。L(1,2,4)表示命题“1+2=4”。,真,假,11,个体词和谓词,例S(1,2)表示：“1,2具有关系S”。S为谓词变量。若S指定谓词“大于”，S(1,2)为 命题；若S指定谓词“小于”，S(1,2)为 命题；,假,真,12,个体词和谓词,定义：含n(n1)个个体变量的谓词P(x1,x2,xn)，称为n元谓词或n元简单命题函数。说明：n元谓词不是命题，只有给谓词变量指定一个常量；为所有个体变量指定具体的个体时，它才表示
5、一个真值确定的命题。如P为常量时，P(a1,a2,an)为命题。(P(x,y)L(x,y,z)P(y,x)是一复合命题函数。,13,个体词和谓词,0元谓词：不带个体变量的谓词如F(a),G(a,b),H(a1,a2,an)等当F,G,H为谓词常量时，0元谓词是命题例 将命题用0元谓词符号化，并讨论真值。“如果5大于4，则4大于6”令G(x,y)：x大于y，a：4，b：5，c：6 G(b,a),G(a,c)是两个0元谓词、命题。命题符号化为：G(b,a)G(a,c)，真值为,假,14,个体域,个体域：在n元谓词(命题函数)中，个体变量的取值范围称为个体域。,例P(x,y)：表示“2x+y=1”。
6、x,y的个体域为整数集；x和y的取值不同，P(x,y)代表不同的命题。如P(1,1)，真值。P(1,-1)，真值。,假,真,15,量词,例，对于命题“所有的正整数都是素数(质数)”和“有些正整数是素数”仅用个体词和谓词是很难表达的。使用前面介绍的概念，仍不足以表达日常生活中的各种命题。量词：在命题里表示数量的词。,16,全称量词,定义：把“所有的”，“每一个”，“对任何一个”，“一切”，“任意的”等称为全称量词。符号化为：x：表示个体域中的每一个个体x。例，所有的人都是要死的。令D(x)：x 是要死的。个体域：全体人的集合。命题可表示为：xD(x)，是,真命题,17,全称量词,例，所有的正整数
7、都是素数。令 P(x)：x 是素数个体域：正整数集则命题可表示为x P(x)，是,假命题,18,全称量词,几种表达式的读法：xP(x)：“对所有的x，x是”xP(x)：“对所有x，x不是”；xP(x)：“并不是对所有的x，x是”；xP(x)：“并不是所有的x，x不是”。,19,存在量词,定义：把“存在着”，“至少有一个”，“存在一些”，“对于一些”，“某个”等称为存在量词。符号化为：x：表示个体域中存在个体x。例，有些正整数是素数令P(x)：x是素数。个体域：正整数集命题可表示为xP(x)，是,真命题,20,存在量词,几种表达式的读法：xP(x)：存在一个x，x是；xP(x)：存在一个x，x不
8、是；xP(x)：不存在一个x，x是；xP(x)：不存在一个x，x不是。,21,全总个体域与特性谓词,含有量词的命题，表达式的形式与个体域有关。例，“所有的正整数都是素数”令P(x)：x是素数1)取个体域为正整数集，表达式为：2)取个体域为实数集，还须令Q(x)：x是正整数 命题表达为：,xP(x),x(Q(x)P(x),22,全总个体域与特性谓词,2.含有量词的命题，真值与个体域也有关。例，“有些数是素数”1)取个体域为正整数集，则表达式为，是 命题。2)取个体域为无理数集，则表达式为，是 命题。因此，为了方便，我们引入全总个体域的概念。,xP(x),真,xP(x),假,23,全总个体域与特性
9、谓词,全总个体域：宇宙间的一切事物组成的个体域。说明：1)后面的讨论中，除特殊说明外，均使用全总个体域。2)对个体变量的真正取值范围，用特性谓词加以限制。,24,全总个体域与特性谓词,例，(1)“所有的人都是要死的。”(2)“有的人活百岁以上。”1)当x的个体域为全体人组成的集合时，符号化上述命题，令D(x)：x是要死的。则(1)表示为：令G(x)：x活百岁以上。则(2)表示为：,xD(x),xG(x),25,全总个体域与特性谓词,2)当x的个体域为全总个体域时，必须引入一个特性谓词将人从全宇宙的一切事物中分离出来。(1)对所有个体而言,如果它是人,则它是要死的。(2)存在着个体，它是人并且它
10、活百岁以上。于是令P(x)：x是人，特性谓词。(1)x(P(x)D(x),说明：一般地，对全称量词，特性谓词作对存在量词，特性谓词作,(2)x(P(x)G(x),蕴含式的前件；,合取项。,26,将n元谓词转化为命题,个体域和谓词的含义确定后，将n元谓词如P(x)转化为命题，有2种方法：将x取定一个值。如：P(4)，P(5)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x),27,使用量词注意事项,在不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样。如上。如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体域。在引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词符号化的形式是不同的。,28,使用量词注意事项,例：每个自然数都是实数
11、。R(x)：x是实数；个体域是全总个体域；特性谓词N(x)：x是自然数x(N(x)R(x)例：有的有理数是整数。I(x)：x是整数；特性谓词Q(x)：x是有理数x(Q(x)I(x),29,使用量词注意事项,4.当个体域为有限集时，如D=a1,a2,an，由量词的意义，有xA(x)A(a1)A(a2)A(an)xA(x)A(a1)A(a2)A(an)A(x)为任意的谓词。,30,使用量词注意事项,5.多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原命题的含义。例：“对任意的x，存在着y，使得x+y=5”。个体域为实数集，令P(x,y)：x+y=5，符号化为：若颠倒量词的顺序，yxP(x,y)意为“存在着y，对所有的x，都有x+y=5”,假命题,真命题,xyP(x,y)，真值？,31,命题符号化,例：没有不犯错误的人。M(x)：x犯错误；P(x)：x是人,x(P(x)M(x),x(P(x)M(x)（所有的人都犯错误）,例：在北京工作的人未必都是北京人。B(x)：x是北京人；W(x)：x在北京工作,x(W(x)B(x),x(W(x)B(x)(有一些在北京工作的人不是北京人。),32,作业,习题四(P65)2，4,
