3泰勒级数罗朗级数.docx

《3泰勒级数罗朗级数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3泰勒级数罗朗级数.docx（23页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、幂级数的基本性质小结1. 对于幂级数工气(zb)k,必然存在一个以展开中心b为圆心的圆，在圆 k =0内级数收敛，而在圆外级数发散。这个圆称为该幕级数的收敛圆，圆的半 径R称为收敛半径(在收敛圆周|z-b = R上各点幕级数是否收敛，则需要 具体情况具体分析。)lim收敛半径(比值判别法和根值判别法):ak-ak+i1k slim2. 幂级数在其收敛圆内一致收敛：幕级数ak(z -b)k在以b为圆心、任何k =0一个略小于收敛圆的闭圆| z - b ,且展开式为唯一的。证明：设Z为圆|R内的任意一点，作一个圆周（如图）% :cR-zo = RR，使z点含于内，并且/G）在圆周%上解析。由柯西积

2、分公式得：1 1-z (& -z )-(z-0ffe). 下拓= =，尤D g-z 1 z-Z g-zoo 【一匠 o R=o-zo0- 1 JRf(z)= 1k y G-z)k=-yOk(g - z )*+i心0【汪尽、:z Z 9-=-& Z 0./()= - S (z - Z )* 2nio |k = 0（推广的柯西积分公式）而上J淫十dg = f（k）（乙） 而 2 兀 ）S1（&-z ）k+1 f (z)匕(z-z)kk=0（Z一习 R，其中a广竺M （k = 0,1,2,）。唯一性：设另有 f （z）=T（z-z），（zf k=0两边对z求k阶导数：a=空M = ak（k = 0,

3、1,2,）。（二）将解析函数展开成泰勒级数的方法1直接计算展开系数：侦咎22 .泰勒级数的唯一性使我们可以用任何方便的方法来求泰勒展开系数，而不一定要用十勺袂来求。例如利用初等函数的泰勒级数展开（特别是ez，三角函数等的泰勒级数展开）:=1 + z + z 2 + . + z n 1 z+ .= zn ,(=0I z l 1 )z 2e z = 1 + z + +2!3!+ .Sin (z) = z +3!z 55!z 2z 4Cos (z) = 1 + 2!4!切，n = 0_ y (- 1 )n z 2 n + 1=(2n + 1)! ,n = 0_ y ( 1 )n z 2 n=(2 n

4、 )!,|例1：求f(z)*z在z = 0的泰勒展式。解：f (z)= ez在复平面上解析，在z = 0时的泰勒系数为a = 四=1n n! n!(n = 0,1,2),于是有ez = 1 + z + 号 + + = + =芝 T(3)。,n=0 例2：求f (z)= ez cosz在z = 0的泰勒展弁式。ez + e - z解： cos z =，2. f (z)= ez cos z = 2 e(1+)z + e(1-)z=2 才 El + I I 一办zn = 2 E 土n! n=0(1 + /)nzn=0( _n . n兀22 e 4 + 22 ev+(1-* zn=0(z| 3)n!

5、n=0一、 n.n兀一4Jznn=y 21 n!n=0r - 一、.皿 .皿e 4 + e- 42v Jnn丸b 22 cos zn =yd znn=0z| 3)。例3：求1在z = 0的泰勒展开式。1 - z 2解：令 t = z 2,贝 I1 = 1 =tn =y z 2 n1 一 z 2 1 一 tn=0n=0(kl i,z| 1。例4：求1在z = 0的泰勒展开式。(1 - z )2解：1 ddz 11 - z Jd y=zndzn=0(|z| 1)由于y zn在|z| 1内一致收敛于上 n=0入= y(n +1) z(1 - zd y zn=y nzn-1=y(n+1)刑, dzn=

6、0n=0n=0n=0(z| 1)。例5：求f G)=里兰在乙=0的泰勒展开式。z解：sinz = z-Z3 + 爻 + =2了妇 z2n(0 z 8，z 3! 5! n 0(2n +1)!在z = 0时，级数收敛且=1，所以如果规定z = 0时，血z = 1，就有zf (z )=工4(z 8)。(2n +1)!1n=04.罗朗级数【刘连寿、王正清编著数学物理方法P55-61】泰勒定理告诉我们：如果函数f(z)在圆| z - zo | R内解析，f (z)在圆 I z - zo R内必可展开成幕级数。如果函数f (z)在I z-zoR内有奇点时， f (z)能否展开成藉级数或展开成类似于幕级数的

7、形式？罗朗定理告诉我们，如果函数f (z)在I z- z0I R内有奇点，f (z) 一般不能展 开成幂级数的形式，但有可能能够展开成罗朗级数的形式。(一)罗朗级数的定义和收敛区域1 .罗朗级数：在前面讲的幂级数中，幂次均为正，若一个级数既包括正 幂项也包含负幂项，即有形式:+ 2、+1 + a + a (z z ) + a (z z + ，(z z)2 z z 0102000则称为其为以为中心的罗朗级数。幕级数在z = z0解析，而对于罗朗级数，z = z0是它的奇点。2. 罗朗级数的收敛区域将罗朗级数分成两部分:正幕部分：a + a (z - z )+ a (z - z +，罗朗级数的正则

8、或解析部分 01020负幕部分： +厂+ ，. 称为罗朗级数的主要部分z - z0 (z - z0)2对于正幕部分，设它的收敛圆为|z-z0 R，在|z-z0 R内，正幂部分是一个解析函数。对于负幂部分，可作变换则负幂部分变为g的幂级数:内的解析函数。a + a 2g 2+。设它的收敛圆为g | r时，负幂部分M_ +/ a 2、+. .是收敛的，且为区域I z-z | rZ-Z0 F10当R r时，由于|z-z0 | r 不能同时成立，故正幕部分与负幕部 分不存在公共收敛区域，从而罗朗级数不存在收敛区域，罗朗级数发散。质当r R时 正幕部分与负幕部分有公共收敛区域:环r |z-zj R.在此

9、圆环内，罗朗级数是收敛的，其和为该圆环内的一解析函数。罗朗级数根据上面的讨论，我们得到一个重要的结论:+ y 2sr + 1 + a + a (z-z)+a (z-z +如果收敛的话， (z-z )2 z-z 0102000R2 1 z-z。l R1.其收敛区域必为以展开中心z 0为圆心的一个圆环型区域环的外半径由级数的正嘉部分决定，内半径由级数的负幕部分决定:R = lim l 气 l= lim_1R =a lim l -n l1 ns ans nn+1TO1n,2n* aL-(n+1) -1a l-n-1OOOO例.求罗朗级数+ +1+.+上+1+三+ b+.的收敛(z 1)n (z -

10、1)n-1z - 1 2222n+1 区域。解：正幂部分的收敛区域为以z = 1为圆心的圆，其半径为:R = lim I l 1= 2。n s an+1负幂部分的收敛区域为以z = 1为圆心的圆外部区域，圆心的半径为:L I -1 = 1r = lim In s an + 1正幂部分与负幂部分的公共收敛区域为圆环：1 VI z - 1I 2.（二）圆环内的解析函数的罗朗级数展开罗朗定理：在圆环R Z f R （R 20,R ）内解析的函数f （z）必可展 10212J开成以Z为中心的罗朗级数：f （Z ）=芝a （z - Z ），其中a称为罗朗系数， 0n 0nn =一8a =备匕版号7此，n

11、 = 0,1,2,，c是圆环内任一以z0为圆心的圆 周|Jz0| =p，（R1 pR2）。（定理的证明从略，不讲）几点说明：（1） 在罗朗展开式中，a =二 . f（）盛丰4 f（n）（z ）；n 2 兀 mC （g 一 z ）n+1n!0（2）罗朗级数中，展开中心式可能是f （z）的奇点，也可能不是奇点；0（3）泰勒级数展开可以看作是罗朗级数展开的特例。如果函数f（z）在大圆I z-zl R2的整个内部都是解析的，根据柯西定理，罗朗级数的负幕部分的展开系数必为零（即a = 0, n = 1,2,3,.），罗朗级数回到泰勒级数。-n（4）如果函数f （z）只是在圆环R z - z R内解析，在

12、小圆|z - z | R内10211存在奇点，则函数只能作罗朗级数展开。罗朗展开的唯一性：如果函数f(z)能够在圆环Rz-Zq尸)和(|z-z = p R)，使P I o 1口2o 2z含于圆环p |z-z | P内。11 O1 2由柯西积分公式，得:因f(z)在闭圆环p |z-z 1 z z (E 7 f+i1 - 9-n=0 戏 % 7& z061 = I 7 f 此，G = 0,1,2, 2兀，口 以对于第二个积分，我们考虑:ffe)-Z )-(& - Z )oof(o 1O _9-Z Z o当& GC时,P1GZ 0z Z0=-Q-=|z ZI oP 1，上式可展开成一致收敛的级数,兴

13、=*住“ T Z YZ - Zo =1 I - Z0 两边沿C逐项积分，并乘以1，得P12丸 i+k竺J k住1吴=2口1 七 Y 2兀口1 七-Zo n=1 七-0n=1 G - Zoa =- J f (&)(&- z-1 d & =- Jd &。-n 2兀02兀 (&- z。X+1由复连通区域的柯西定理，可得:n = 0,1,2,，n = 0, 1,2,，_ 1 jf(Q 井1 jf(Q 麻n =赤 (P 八希 h(71 5a = J ,/-n2巾口1(&- z01 Jf(5)麻1 Jf (5)麻J - d 5 = J - d 5n+12 兀 i I C (5 - Z )- n+1Cp为圆

14、环内任一以z0为圆心的圆周。 f(z)=Ea (z-z ) +E* =Ea (z-z ， n=0 n 0n=1 (z - J n=- 01 Jf(5)侦疝 ApU d 5n = 0, 土 心,唯一性：设f (z)在圆环H内乂可展成下式:f (z)= * a (z - z )nn0(rp =2k z5mn从而:-zm1 此= X d 2kz5 = 27iiar，n I_10n mnmn=-oo I I Pn=-oo_Xj2Rp(&af 1mx a， m 0,1,2,z jm+1m0罗朗展开的唯一性使我们可以用任何方便的方法来求罗朗级数展开系数。最常见的方法是利用简单初等函数的泰勒级数或罗朗级数展

15、开来较复杂函数的罗朗级数展开式，如利用土，以，三角函数等的泰勒或罗朗级数展开式:二=1 + 亦 + 1 - ZZ2 + 2!Z3 + 3!Z3 +3!Z55?n = 0n = Q=I Z 1 00 )Cos (z) = 1Z44?(-1 ) z 2 + l(2 + 1)!，n = 0_ y (-1)=(2)！I Z 1 00 )例1：求函数-在l|z|00内的罗朗展开。2 1解：在1回3内1-1 1 , 00Z21 _ 1Z2T Z21 _ 11-X孕Z2fl+l+l+I Z2 Z41 V 1 V 1 ）2 Z2n72（n+l）n=0n=0X-l-2（+1） 77=0令 m=n+l J_二_L

16、,Z2m Z2n m=ln=lmZ21gn=l例2：求f ()=&+在0|z|3内的罗朗展开。解：/G）=+=X+S1.1=XL+Xz n n zn n n n=0n=0n=0n=- 号+，命=l+2# n=0 =00 I I=00 I I例3:将八)=确危在把l|z2,及2|z|oo内分别展成以z = 0为中心的罗朗级数。解：(i)在|z|l内，三1，于是2H)1111- L . 1 0“一 乎=习1一 乙-2二-K一 2广7,=。 淫”八少2无负幕项，这是因为在|z|l内，=(1)1刁是解析的，所以f(z)=展成的是泰勒级数。7(z-l)(z-2)(ii) 在 1 |z|2 内，- 1，

17、zz 1，于是f (z )=v(z 1)(z 2)111111=-2 z z 12 1 z z 1 12 z1 V zn 1 V 1二一一J一 一J=2 2 nn=01 =_ z_ 。2n+1zn+12n+1zn(iii)在2 z s 内，1 1， 2 1， z z于是A )111111f z =-k 7z 2 z 1 z 1 一 2 z 1 一 1zz=1 2n _ 1 1 = 2n 1 = 2n 1 = 2n-1 1zznzznzn+1zn+1znn=0n=0n=0n=1n=2例4：将f (z)=z 2 (z 1)在0 |z-1| z2 dz v z )z 1 + (z 1)n=0（z1

18、(z 1)n =-(-1)nn(z 1)n-1=(-1+1 n(z-1-1n=0n=0n=1.=(1)n+1n(z-1-1= (-1+1n(z 1)n-2= (-1+1(n + 2)(z 1)n。z2 (z 1)z 1n=1n=1n =1(-1)n+1 n(z- 1)n-2g-2 (1)m+1 (m + 2)(z-1 = (-1)+1 (n + 2)(z-1，n=1m = 1n = 1. = (1)n+】(n + 2)(z - 1)n。 z2(z1)例5：将z 1 ）在0|z| 1及1 |z|牛内分别展成以z = 0为中心的罗朗级n=11z 2 (z 2 - 1数。【即展成 azn的形式】解:

19、11 dQ 1)2 z dzk 1 - z 2)在0 |z| 1内巾2| 1，zp旦 1 力-JE=乙 z 2 n，1 一 z 2n=01、12 一 1)d E 一z 2 n2z dzn=0-1 E 2nz 2 n-1= nz 2(n-1)=(n + 1) z 2 n， 2 zn=0n=0n=0z2=1 E(n + 1) z 2 n =E(n + 1) z 2(n-1)=E(n + 2 ) z 2 nz2n=0n=0n=-1(ii)在 1从而z 0为常数）;a. nnzn ； b. nkznn=1n=0将下列函数按z的幕展开，c.切 nlznnnn=0并指明收敛范围。3、a. Iz ezdz ；b. cos2 z。0将下列函数按z -1的幕展开，并指出收敛范围。4、a. cos z; b. zz 2 - 2 z + 5将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。a. z +1 z2(z -1),0 z 1, 1 z 3； b.一亍 + 5), 1 |z|2。(z - 2 )(z 2 + 1 15、将下列函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出收敛范围。a. , z = i ；【 a (z -i)n 】 b. (z -1e1-z , z = 1。【 a (z -1】Vz 2 +1 少nnn =-3n =-3