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1、平面向量数量积的物理背景及其含义Inner product of planar vectors,一、向量数量积的物理背景,在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 的作用下产生位移，那么力 所做的功,我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念。,二、向量与的数量积的概念,已知两个非零向量与，它们的夹角为，则我们把数量 叫做 与 的数量积(inner product)(或内积)，记作：,规定：零向量和任一向量的数量积为0,.,思考：,=|cos,当0 90时 为正；,当90 180时 为负。,当=90时 为零。,=|cos,Solution：ab=|a|b|cos=
2、54cos120=54（-1/2）=10,Example 1 Given|a|=5，|b|=4，the included angle of a and b is=120，find ab。,|b|cos叫向量b 在a 方向上的投影,为锐角时，|b|cos0,为钝角时，|b|cos0,为直角时，|b|cos=0,几何意义,数量积 a b 等于a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影(projection)|b|cos 的乘积.,特别地,四.数学运用,例1:,注意：,“”不能省略不写，也不能写为“”，数学中“a b”表示两个向量的向量积(或外积),a b表示数量而不表示向量，与实数a b不 同
3、,a+b、a-b表示向量；（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab=bc不能得到 a=c(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)c a(bc),练习,判断下列说法是否正确,(),(),(),(),(),(),二、平面向量的数量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,则(a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3),例 3：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,解:,
