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1、第二章 轴向拉伸、压缩与剪切授课学时：8学时主要内容：N,N、1. 轴向拉伸与压缩杆横截面上正应力。=A，强度条件。max =（人）哑vg NL 一2. 胡克定律AZ = 了二，b = EcEA3. 用切线代圆弧法求解超静定桁架结点位移4. 简单拉压静不定问题的求解5. 剪应力、挤压应力强度条件的应用$2.1轴向拉伸与压缩的概念1. 轴向拉伸与压缩的概念杆件上外力合力的作用线与杆件轴线重合，变形是沿轴线方向的伸长和缩短。2. 力学模型$2.2轴力、轴力图1. 轴力杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。轴力用N表示，方向与轴线重合。求解轴力的方法：截面法。轴力的符号规则：N与截面的外法线方向一
2、致为正；反之为负。轴力为正，杆件受拉; 轴力为负，杆件受压。2. 轴力图：用折线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横轴表示截面位 置，纵轴表示轴力大小。它能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据例AB杆受力如图所示，已知P1 = 2.5kN，P2 = 4kN，% =1.5kN。试求AB杆各段内并作轴力图解：(1) 计算各段的轴力对AC段，设置截面如图，由平衡方程Z X = 0得N1 = P= 2.5KN对BC段，由平衡方程ZX = 0得P + N 2 - P = 0N =-1.5KN2(2) 按比例画轴力图3. 轴向拉(压)时横截面上的应力，
3、强度条件根据横截面在轴向拉压时仍然保持为平面不变的平面假设，可得横截面上只存在正应 力。又因为材料均匀连续，并且纵向纤维的伸长相同，所以横截面上的正应力均匀分布。Nb =A强度条件及其应用:b= N vbA例如图所示托架，已知：AB为钢板条，截面积100cm2, AC为10号槽钢，横截面 面积为A=12.7 cm2。若P = 65KN，求：各杆的应力。解：(1) 以节点C为研究对象，受力分析如图所示，建立平衡方程v-3倦X = 0京=N1悝K = 0，N 24 = P解方程可得N = 48.8KN N 2 = 81.3KN（2）计算各杆的应力AB和AC的应力为N b = i = 163MPa
4、1 AN b = 2 = 64 MPa-2CC$2.3材料拉伸时的力学性能1. 低碳钢拉伸时的力学性能材料的力学性能：就是材料在外力作用下，所表现出来的变形和破坏等方面的特性。试件形状：应力一应变曲线上当应力增加到b点时，再将应力降为零，则应变随之消失；一旦应力超过b点，卸载后，有一部分应变不能消除，则b点的应力定义为弹性极限co在拉伸（或压缩）的初始阶段应力与应变为直线关系直至。点，此时a点所对应的应力值称为比例（2）屈服阶段s在应力增加很少或不增加时，应变会很快增加，这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所对应的应力叫屈服极限s。到达屈服阶段时，在磨光试件表面会出现沿45度方向的条纹， 这是由于
5、该方向有最大剪应力，材料内部晶格相对滑移形成的。（3）强化阶段材料经过屈服阶段以后，因塑性变形使其组织结构得到调整，若需要增加应变则需要增加应力。O 一曲线又开始上升，到最高点处的强度b是材料能承受的强度极限。（4）局部变形阶段当低碳钢拉伸到强度极限时，在试件的某一局部范围内横截面急剧缩小，形成缩颈现象。（5）截面收缩率和延伸率V = “0 1 x 100%A截面收缩率05 = L x 100%延伸率l02. 铸铁拉伸时的力学性能铸铁拉伸时，没有屈服和颈缩，拉断时延伸率很小，故强度极限b是衡量强度的唯一 指标。$2.4材料压缩时的力学性能1. 低碳钢在压缩时，弹性摸量和屈服极限与拉伸相似，但压
6、缩不会破坏，只会越压越 扁，没有强度极限。2. 铸铁压缩时，在较小变形时就会破坏，并沿45度方向破坏，说明铸铁因剪切破坏。$2.5失效与许用应力1. 失效原因脆性材料在其强度极限b破坏，塑性材料在其屈服极限s时失效。二者统称为极限应 力理想情形。极限应力：max s , max b（极限应力是材料的强度指标）若工作应力为N=A因此工作应力的最大允许值低于s，b。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为=s =bnn一般工程中n = 1.5 2.2 nb = 3.0 5.02. 强度条件bmaxmax% vm a xV等截面杆 A$2.6轴向拉伸或压缩的变形，弹性定律1.杆件在轴向方向的伸长为Al =
7、 l -112.沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为Al胡克定律3.应力与应变成正比，即b= E&，这就是胡克定律。E当应力低于材料的比例极限时 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得Al = NEA4. 横向应变为Ab横向应变与轴向应变的关系为$2.7轴向拉（压）杆静不定问题1. 静不定问题的概念对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全 部未知力。这类问题称为静不定问题或超静定问题。2. 静不定问题的解法求解静不定问题的关键在于使未知力个数和方程个数相等，这要求除了利用理论力学的知识建立平衡方程外，还要建立若干个补充方程，使其个数等于静不定次数。以求下面
8、三杆桁架的内力为例说明静不定问题的解法。(1) 列A点的平衡方程2 X = 0, N - 2N sin a = 0N = N2 Y = 0, N + 2N cos a = 021(2) 变形几何关系AZ = AZ cos a(3)力与变形的关系AZ = N1i= NiZ1 E A E A cos aN2 NiPAl3NE3 A3（4）联立补充方程和平衡方程求解未知力Pcos3 a2cos3 a + 3I E A iiE Ai i cos3 aE3 A3例杆的上、下两端都有固定约束，若抗拉刚度EA已知，试求两端反力。解：（1）列杆的平衡方程杆的未知反力有和R2,平衡方程只有一个。即2 工=0R
9、+ R2 - P = 0（2）变形几何关系由于杆的上、下两端均已固定，故杆的总变形为零，即=A +AZ2 = 0， A等于AC段变形，Al2等于BC段变形（3）力与变形的关系AC段，其轴力Ni =气，对BC段，其轴力N2 = -气， 由虎克定律Al = Na = Rai = EA EA.N b R bAl = = 32 EA EAi i i i代入变形几何关系Al = 土 - = 0即 R a - R b = 0EA EAi 2R + R - P = 0R a - R b = 0解得R =-PR =-P1 a + b2 a + b（4）联立补充方程和平衡方程求解未知力应该注意，R1、气方向可任
10、意假设但在建立补充方程时杆件所受的力必须与产生的变形一致，才能得到正确答案。3.装配应力对于静定问题，不存在装配应力，但在静不定结构中，由于杆件的尺寸不准确，强行装 配在一起，这样在未受载荷之前，杆内已产生的内力。由于装配而引起的应力称为装配应力。以下图为例进行讲解。1.平衡方程N sin a - N sin a = 0N - N cos a - N cos a = 02. 变形几何方程也3 +%cosa=83. 物理方程Nll = L-cos ai Ea1 1联立方程得N l3CB3N 3 22 cos a8E AlUE3 A32E cos 3 a J$2.8应力集中的概念1.应力集中等截面
11、直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分布的，对于构件有圆孔、切 口、轴肩的部位，应力并不均匀，并在此区域应力显著增大，这种现象称为应力集中。（原孔洞应力向两旁分配，造成应力分配不均匀。）应力系中系数K = x，Q名义应力（平均应力）bnn2.应力集中对构件强度的影响塑性材料：由于塑性引起应力均布，对静 强度极限影响不大。对疲劳强度，应力集中有 影响。脆性材料：塑性材料没有屈服阶段，载荷PPPQm 1 尊Q nbs= JP， b bs= P V& bs bsbs式中P：挤压面上的挤压力增加时应力集中处的最大应力一直领先。并首先在此处出现裂纹。对静载荷，也应考虑其影 响。$2.9剪切和挤压
12、1 .剪切变形与挤压剪切变形的受力特点：作用在杆件两个侧面上且与轴线垂直的外力，大小相等，方向相 反，作用线相距很近。变形特点是：两个力之间的截面沿剪切面相对错动。 可能被剪断的截面称为剪切面。w 口AA式中 Q：剪切面上的剪力，它与P的关系由平 衡方程确定。A：剪切面面积（不一定是横截面的面积， 且与外载荷平行）挤压应力A :挤压面面积（与外载荷垂直），过圆柱直径的横截面面积。bs2.剪应力与挤压力的计算例齿轮和轴用平键联接如下图所示。已知轴的直径d=70mm，键的尺寸 b x h x 1 = 20 x 12 x 100mm，传递的力偶矩m=2kN . m，键的许用应力L = 60MPa，许
13、用挤压应力L氏=100MPa。试校核键的强度。解：（1）计算键所受 剪力的大小 将键沿 截面n-n假想切开成两 部分，并把截面以下部 分和轴作为一个整体来 考虑n-n截面上的剪力 Q为Q At = bh由平衡条件Q - 2md(2) 校核键的剪切强度2 x 20002mt bld20 x 100 x 70 x 10 -9故平键满足剪切强度条件。28.6MPa T(3)校核键的挤压强度键受到的挤压力为P，挤压面面积匕2，由挤压强度条件bbsP _blT _ 2bT 厂、=飞2 x 20 x 10-3 x 28.6 x 10695.3MPa bb12 x 10-3故平键满足挤压强度条件。例 拖车挂
14、钩由插销与板件联结。插销材料为20 号钢，T = 30M p a 直径d = 20mm，厚度t 8mm，P = 15kN。试校核插销的剪切强度。若挤压许可应力为t bJ= 100，试校核插销的挤压强度。解：(1)计算键所受力的大小将插销沿截面m-m和n-n假想切开(双剪切面)。列平衡方程可得Q -1(2)校核键的剪切强度PQm IQ n15 x 1032 x G。x 10-323.9MPa T(3) 校核键的挤压强度15 x 103考虑中段的直径面积小于上段和下段直径面面积之和2dt，故校核中段的挤压强度。L 厂1.5dt 1.5 x 8 x 10-3 x 20 x 10-3 62*5MPa bb) bs
