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1、2023/5/21,1,P166 习题6.2 1(1)(5).2(2).3(1)(3).4(4)(5).5(1).复习：P158166,作业,预习：P168174,2023/5/21,2,第十六讲 定积分（一）,二、定积分的概念,三、可积性条件与可积类,一、两个典型例子,四、定积分的基本性质,2023/5/21,3,例1 曲边形的面积问题,一、两个典型例子,曲边梯形,2023/5/21,4,(1)细分:,(2)取近似：,2023/5/21,5,(4)取极限:,(3)求和:,2023/5/21,6,例2 变速直线运动的路程问题,细分：,(4)取极限:,以匀速近似变速,(2)取近似：,(3)求和：
2、,2023/5/21,7,二、定积分的概念,（一）黎曼积分定义：,2023/5/21,8,记作:,积分上限,积分下限,称为积分区间,定积分是:积分和式的极限,例1曲边梯形的面积,例2变速直线运动的路程,2023/5/21,9,（二）定积分的几何意义,2023/5/21,10,证,2023/5/21,11,证,2023/5/21,12,定理1：,三、可积性条件与可积函数类,证明思路：反证法。假设 f(x)在a,b上无界，则至少在一个子区间上无界，所以黎曼 和式无界，与和式极限存在相矛盾.,定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研究定积分，实际上是不可行的.另一途
3、径是先研究其存在性，得到有关可积性的理论。,2023/5/21,13,定理3：,定理4：,定理2：,2023/5/21,14,四、定积分的基本性质,定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关,性质一：线性性质,性质二：关于区间的可加性,2023/5/21,15,注意1 定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即,注意2 定积分的定义中，下限a小于上限b，否则，做如下规定:,关于区间可加性的推广,2023/5/21,16,性质三：积分的不等式性质,（证明：利用极限的保序性质）,性质四：积分的保号性,2023/5/21,17,性质五：积分的不等式性质,注意,性质六：积分的估值性质,2023/5/21,18,性质七：积分中值定理,性质八：广义积分中值定理,2023/5/21,19,平均高度,函数平均值,2023/5/21,20,证,由假设条件，可以证明,2023/5/21,21,2023/5/21,22,例1,2023/5/21,23,线性,可加性,证,2023/5/21,24,解,2023/5/21,25,2023/5/21,26,证 利用估值定理,2023/5/21,27,证,2023/5/21,28,
