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1、22双曲线22.1双曲线及其标准方程【课标要求】1了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程2会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题【核心扫描】1用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程(重点)2与双曲线定义有关的应用问题(难点)自学导引1双曲线的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示(1)若“常数等于|F1F2|
2、”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b2想一想：如何判断方程1(a0，b0)和1(a0，b0)所表示双曲线的焦点的位置？提示如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的
3、大小来判定焦点在哪一个坐标轴上名师点睛1对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a，当2a|F1F2|时，其轨迹不存在(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支若F1、F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|PF2|2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|PF1|2a，则点P在左支上(3)双曲线定义的表达式是2a(02ab0，而双曲线中a、b大小则不确定(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可
4、设双曲线的标准方程为Ax2By21(AB0，b0)和1(a0，b0)两种情况，分别求解另外也可以设双曲线方程为mx2ny21(mn0)或1(mn0，b0)或1(00，b0)，由于点P和Q在双曲线上，所以解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P、Q两点坐标代入可得解之得所以双曲线的标准方程为1.法二设双曲线方程为1(mn0，b0)依题设有解得所求双曲线的标准方程为y21.法二焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中06)双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去)所求双曲线的标准方程是y21.规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位
5、置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a3，c4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，6)，(0,6)，经过点A(5,6)解(1)由题设知，a3，c4，由c2a2b2，得b2c2a242327.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为1.(2)由已知得c6，且焦点在y轴上因为点A(5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的
6、差的绝对值是常数2a，即2a|135|8，则a4，b2c2a2624220.因此，所求双曲线的标准方程是1.2.若椭圆1(mn0)和双曲线1(a0，b0)有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值为()Ama BmbCm2a2 DA解析：设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|PF2|2由双曲线定义得|PF1|PF2|2|PF1|，|PF2|PF1|PF2|ma题型二双曲线定义的应用【例2】如图，若F1，F2是双曲线1的两个焦点 (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F
7、1PF2的面积思路探索 (1)由双曲线的定义，得|MF1|MF2|2a，则点M到另一焦点的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积 解双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c5.(1)由双曲线的定义，得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.故点M到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将|PF2|PF1|2a6，两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20
8、，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.规律方法(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca)(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用【变式2】1已知双曲线的方程是1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求
9、|ON|的大小(O为坐标原点)1解：连接ON，ON是PF1F2的中位线，所以|ON|PF2|因为|PF1|PF2|8，|PF1|10，所以|PF2|2或18，|ON|PF2|1或92设P为双曲线1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若F1PF260，求PF1F2的面积解：由方程1，得a4，b3，故c5，所以|F1F2|2c10又由双曲线的定义，得|PF1|PF2|8，两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|64在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|100，得|PF1|
10、PF2|36，所以|PF1|PF2|sin 603693.已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积解由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理，得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF26416.误区警示忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程1表示双曲线，那么m的取值范围是_错解 由解得3m2，m的取值范围是m|3m2 只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y轴上的情
11、况正解 依题意有或解得3m3.m的取值范围是m|3m3答案m|3m3 方程1既可以表示椭圆又可以表示双曲线当方程表示椭圆时，m、n应满足mn0或nm0，当mn0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当nm0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆当方程表示双曲线时，m、n应满足mn0，n0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当m0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.当堂检测1平面内有两个定点F1(5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|6，则动点P的轨迹方程是()A(x4) B(x3)C(x4) D(x3)答案：D解析：由已知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a3，c5，b2c2a2
12、16，所求轨迹方程为(x3)2已知双曲线为，则此双曲线的焦距为()A B C D答案：D解析：由已知0，a22，b2，c22，焦距3已知双曲线上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(5,0)的距离为()A7 B23 C5或25 D7或23答案：D解析：设F1(5,0)，F2(5,0)，则由双曲线的定义知：|PF1|PF2|2a8，而|PF2|15，解得|PF1|7或234在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(6,0)和C(6,0)，顶点B在双曲线的左支上，则_答案：解析：如图，5在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_答案：4解析：设右焦点为F，则点F的坐标为(4,0)把x3代入双曲线方程得y，即M点的坐标为(3，)由两点间距离公式得|MF|4
