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1、第二章 自动控制系统的数学模型,2.3 传递函数与系统动态结构图,2.3.1 传递函数的定义,设系统的标准微分方程为,C(t)为输出量，r（t）为输入量,在系统满足零初始条件下进行拉氏变换，得到,整理得,传递函数的定义：对线性定常系统（环节），在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记作G(s),2.3.2传递函数的性质,1）只适用于线性定常系统，不适用于非线性系统或时变系统。2）传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，取决于它本身的结构和参数，与其输入信号的大小、形式无关。3）表示了特定的输出量与输入量之间的关系。4）传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母多项式的
2、各项系数均为实数，分母多项式的次数n大于等于分子多项式的次数m。5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。7）传递函数可以写成，K=bm/an，称为增益。-zj(j=1,2,m)成为传递函数的零点，-pi(i=1,2,n)成为传递函数的极点,上图所示的是,的零、极点分布图。,比例环节的传递函数,比例环节（无惯性环节）：c(t)=kr(t)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k阶跃响应：R(S)=1/S C(S)=kR(S)=k/S方框图：,C(t)=k,1,测速发电机：,U(t)=Ktd(t)/dt=kt(t)G(S)=U(S
3、)/(S)=Kt,运算放大器：,C(t)=R2/R1 r(t)G(S)=C(S)/R(S)=R2/R1=K,2.2 传递函数,微分环节的传递函数,微分环节：c(t)=Kdr(t)/dt 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=KS方框图：,4,由于微分环节具有惯性实际常常以G(S)=kTS/(TS+1)形式出现。其中T为时间常数，T越小微分作用越强，当T0 而KT保持有限值时，方程变为纯微分环节了。,输入量取角度时的传递函数即为微分环节。,表示电机单位角速度的输出电压。则测速发电机输出电压与输入角速度之间的关系为,进行拉氏变换得到,那么该元件的传递函数为,测速发电机：,2.2 传递函数,微分环
4、节的传递函数,一阶微分环节：c(t)=Tdr(t)/dt+r(t)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=TS+1方框图：,5,比例微分调节器：,根据电路的基本定律得到以下方程组,那么该元件的传递函数为,消去中间变量得到输出、输入电压之间的关系,积分环节的传递函数,3,积分调节器：,在A点列方程可得：i2=i1,i1=Uc(t)/RUc(t)=1/Ci2(t)dt=1/(RC)Uc(t)dt,设RCT（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/TUc(t)dt拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)传递函数为：G(S)=Uc(S)/Uc(S)=1/(TS)k/S,2.2 传递函数,惯性环节
5、的传递函数,惯性环节：Tdc(t)/dt+c(t)=kr(t)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)阶跃响应：R(S)=1/S C(S)=kR(S)方框图：,C(t)=k(1-e-1/T),2,运算放大器：,传递函数为：G(S)=（R2/R1)/(R2CS+1)=K/(TS+1),2.2 传递函数,当T=时，惯性环节近似为积分环节；当T=0时，惯性环节近似为比例环节。,振荡环节的传递函数,振荡环节：T2 d2r(t)/dt2+2Tdr(t)/dt+r(t)r(t)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=1/(T2S2+2TS+1)方框图：,6,RLC振荡电路：,电路的微分方程
6、为：LCd2Uc/dt2+RCdUc/dt+Uc=Ur d2Uc/dt2+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr令n=1/LC，=0.5 RC/L则上式的拉氏变换为：(S2+2nS+n2)Uc(S)=n2Ur(S)n2 S2+2nS+n2,传递函数为：G(S)=Uc(S)/Ur(S),延迟环节的传递函数,延迟环节：c(t)=r(t-)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=e-s方框图：,7,轧钢厂带厚度检测元件:,则滞后时间为：l/v（S)测厚信号c(t)与厚差信号r(t)之间的关系为：c(t)r(t-)在零初始条件下，拉氏变换为：C(S)R(S)e-S传递函数为:G(S)=C(S)/R(S
7、)e-S,A点产生的误差在B点才被检测到。设测厚仪距支架的距离为l，带钢运行速度为v,2.2 传递函数,2.3.1 动态结构图,动态结构图是数学模型的图解化，它描述了组成系统的各元部件的特性及相互之间信号传递的关系，表达了系统中各变量所进行的运算。,动态结构图的组成,1）信号线,带有表示信号传递方向箭头的直线。一般在线上写明该信号的拉氏变换表达式。,2）综合点,3）引出点,4）方 框,在信号线上的“”，表示信号引出的位置。,方框中为元部件或系统的传递函数，方框的输出量等于方框内的传递函数与输入量的乘积。,它完成两个以上信号的加减运算，以O 表示。如果输入的信号带“”号，就执行加法；带“”号就执
8、行减法。,2.3 动态结构图与梅森公式,2.3 动态结构图与梅森公式,动态结构图建立步骤是,建立系统各元部件的微分方程。要注意，必须先明确系统的输入量和输出量，还要考虑相邻元件间的负载效应。,按照系统中各变量传递顺序，依次连接3）中得到的结构图，系统的输入量放在左端，输出量放在右端，即可得到系统的动态结构图。,将得到的系统微分方程组进行拉氏变换。,按照各元部件的输入、输出，对各方程进行一定的变换，并据此绘出各元部件的动态结构图。,1,2,3,4,一个动态结构图建立的例子,2.3 动态结构图与梅森公式,一个动态结构图建立的例子,RC无源网络,U1(S)-U2(S)=I1(S)R1=I2(S)CS
9、,I1(S)+I2(S)=I(S),U2(S)=I(S)R2,步骤一 列写方程组,步骤二 画出对应方程的部分结构图,步骤三 依次连接得到系统结构图,例：2.3-1 画出该系统的动态结构图,解：该系统的输入量为ur，输出量为uc，根据电路其微分方程为：,取拉氏变换,动态结构图如下：,例2.3-2 画出两级RC滤波网络的动态结构图,解：该系统的输入量为ur，输出量为uc，根据电路其微分方程为：,取拉氏变换,动态结构图,2.4 系统结构图的等效变换与信号流程图、梅逊公式,2.4.1 系统结构图的等效变换,原则：变换前后保持系统中各信号间的传递关系不变,一、三条基本法则：,1、串联环节的等效传递函数为
10、各环节传递函数之积,对于n个环节串联，则有,2、并联环节的等效传递函数等于各并联环节传递函数的代数和,若G2(s)为负反馈，,对于n个环节并联，则有,3、反馈联接（闭环）,负反馈时，分母项取“+”；正反馈时，取“-”,（1）前向通道：G(s),（2）反馈通道：H(s),（3）闭环的开环传递函数：,（4）单位反馈系统：H(s)=1,任意一个非单位反馈系统，总可等效地变换成单位反馈系统,二、其他等效变换法则,1、连续综合点或引出点之间的次序可任意交换，但相邻的综合点与引出点之间不能任意简单交换（P44图2.4-2）,2、综合点或引出点只能在紧靠环节的前后两端移动，移动时中间不得夹杂引出点或综合点，
11、并要等效。,综合点前移，所加的方框为移过方框的传递函数的倒数，如图（a）所示。综合点后，所加的方框为移过方框的传递函数，如图（b）所示。,引出点前移，所加的方框为移过方框的传递函数，如图（a）所示。引出点后移，所加的方框为移过方框传递函数的倒数，如图(b)所示。,3、通常综合点应有由综合点的方向移动，引出点应向引出点的方向移动,例2.4-1求下面系统结构图的的传递函数,解：该结构图有三个闭环相互交叉，不能直接应用三条基本法则，先要移动其综合点或引出点，接触交叉。这里有1、2、3三个综合点和a、b、c三个引出点,1、将综合点2移至综合点1之前,综合点前移，所加方框为移过方框传递函数的倒数，相邻综
12、合点可以任意交换,2、引出点b移至引出点c后面,引出点后移，所加方框为移过方框传递函数的倒数，相邻引出点可以任意交换,等效为：,例2.4-2 已知系统结构图如下，试用等效变换法求传递函数(s),解：a既是综合点又是引出点，应把a点分成综合点a1和引出点a2，如下,思考题1：化简所示的系统的结构图，求传递函数。,解：化简的方法是，先通过移动引出点和综合点，消除交叉连接，使用权动态结构图变成独立的回路，然后再进行串联、并联及反馈的等效变换，最后求得系统的传递函数。,思考题2:用方块图的等效法则，求所示系统的传递函数C(s)/R(s)。,解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，
13、就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简。,串联和并联,反馈公式,思考题3：化简,解：综合点1和2交换,2.4.2信号流图与梅逊公式,信号流图的基本概念及绘制,结构图变为信号流图的不同处 P49 表2.4-2,例2.4-4 已知两级RC滤波网络的动态结构图如下所示，试画出相应系统的信号流图,解：在结构图上用小圆圈表示各变量对应的节点。综合点之后，引出点之前必须设置一个节点。,由结构图上的信号的传递关系，自左到右，依次画出各节点间的支路，并表明相应的增益,增益为1可以省略，节点7处增加一条增益为
14、1的输出支路，并增画节点8，表示系统的输出点,例2.4-5 根据结构图画信号流图,概念：,前向通路如果在从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。前向通路中各支路传输的乘积，称为前向通路总增益。用Pk表示第K条前向通路的总增益。例2.3-4中，前向通道只有1条：12345678，例2.3-5中，前向通路有3条：123456，12456，12356；P1=G1(s)G2(s)，P2=G2(s)G3(s)，P3=G1(s)G4(s),单独回路起点与终点在同一个节点上，且信号通过任一节点的次数不大于一次的回路。回路增益用La表示。例2.3-4中，单独回路有三个，它们分别是：
15、2342，La1=-1/R1C1s；34563，La2=-1/R2C1s；5675，La3=-1/R2C2s。例2.3-5中，单独回路有2个，分别是：242，La1=-G1(s)H(s)；2342，La2=-G2(s)H(s),不接触回路如果回路间没有任何公共节点。例2.3-4中的La1与La3,2、梅逊公式,例2.4-6 利用梅逊公式求传递函数,（1）,单独回路：1：2342，La1=-1/R1C1s；2：34563，La2=-1/R2C1s；3：5675，La3=-1/R2C2s。三个单独回路中只有1和3两两互不接触，没有三个互不接触的回路，所以LbLc=La1La3，LdLeLf=0,前
16、向通道12345678，前向通路与三个单独回路都有接触。,（2）,单独回路：1：242，La1=-G1(s)H(s)；2：2342，La2=-G2(s)H(s)两个单独回路相互接触，所以LbLc=0，LdLeLf=0,前向通道1：123456，P1=G1(s)G2(s)2：12456，P2=G2(s)G3(s)3：12356，P3=G1(s)G4(s),1=2=3=1,例2.4-7根据系统结构图画出系统的信号流图，并用梅逊公式求传递函数,单独回路：1：3453，La1=-G1(s)；2：23462，La2=-G1(s)3：234562，La3=-G1(s)G2(s)单独回路两两相互接触，所以L
17、bLc=0，LdLeLf=0,前向通道1：1234567，P1=G1(s)G2(s)，1=12：1567，P2=G2(s),2=13：123467，P3=G1(s),3=14：153467，P3=-G1(s)，4=1,例2.4-8 用梅逊公式求传递函数,单独回路：1：454，La1=-G2(s)H1(s)；2：3453，La2=G1(s)G2(s)H1(s)3：4564，La3=-G2(s)G3(s)H2(s)单独回路两两相互接触，所以LbLc=0，LdLeLf=0,前向通道1：12345678，P1=G1(s)G2(s)G3(s)，1=12：1278，P2=G4(s),该前向通路与三个单独回
18、路都不接触，所以2=,2.5系统的典型传递函数及自动控制系统的典型环节,一、控制系统的典型传递函数,常用闭环系统传递函数,表示了cm(t)能很好地跟踪r(t)变化，使跟踪误差e(t)=0，即跟踪准确、及时,二、自动控制系统的典型环节,特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化，动态特性很好,惯性环节特点：输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化，即信号的传递存在惯性。,积分环节的特点：输出量与输入量对时间的积分成正比，输出有滞后作用，输出积累一段时间后，即便使输入为零，输出也将保持原值不变，具有记忆功能。,微分环节的特点：输出与输入信号对时间的微分成正比，即输出反映了输入信号的变化率，而不反映输入量本身的大小。可用微分环节的输出来反映输入信号的变化趋势，加快系统控制作用的实现。,实际微分环节及一阶微分环节,图2-31 振荡环节及其阶跃响应曲线,振荡环节的特点：若输入为一阶跃信号，则其动态响应具有振荡的形式。,图2-32 积分环节及其阶跃响应曲线,时滞环节的特点：输出波形与输入波形相同，但延迟了时间。时滞环节的存在对系统的稳定性不利。,
