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1、快速抢答！,sinc(x)d(x-1)=,tri(x)d(x+0.5)=,sinc(x)*d(x-1)=,tri(x)*d(x+0.5)=,0,sinc(x-1),0.5 d(x+0.5),tri(x+0.5),恩格斯(Engels)把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel)的辩证法相提并论.,第三讲 二维傅里叶变换的基本概念及基本定理,他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗.,满足狄氏条件的函数 g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展为三角傅里叶级数:,展开系数,零频分量,基频,谐频,频谱等概念，奇、偶函数的三角级数展开,1、三角傅里叶级数展开,三角傅里叶展开
2、的例子,周期为t=1的方波函数,an,fn,频谱图,三角傅里叶展开的例子,练习 1-15：求函数f(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里叶级数展开系数,三角傅里叶展开的例子,练习 0-15：求函数g(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里叶级数展开系数,采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。,二维傅里叶变换 指数傅里叶级数,满足狄氏条件的函数 g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展为指数傅里叶级数:,展开系数,零频分量,基频,谐频,频谱等概念,指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。,二维傅里叶变换 指数傅里叶
3、级数,思考题利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间的关系：,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换,函数(满足狄氏条件)具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:,n级谐波频率:n/t相邻频率间隔:1/t,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换,由于t 分立的n级谐波频率 n/t f,f:连续的频率变量 相邻频率间隔:1/t 0,写作df,求和积分,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换,写成两部分对称的形式:,这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换,二维傅里叶变
4、换 2-D Fourier Transform一、定义及存在条件,函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点),定义函数,f(x,y):原函数,F(fx,fy):像函数或频谱函数,傅里叶变换的核:exp(-j2pfx),二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续),由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:,f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对,x(y)和 fx(fy)称为一对共轭变量,它们在不同的范畴(时空域或频域)描述同一个物理对象.,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、
5、定义(续),描述了各频率分量的相对幅值和相移.,F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数,傅里叶变换作为分解式,由逆变换式，可以把函数f(x,y)分解成形式为 的基元,这种基元函数具有下述性质：,(1)代表传播方向为 的单位振幅的平面波.(2)当 时,表示零位相线,其与x轴的夹角,函数的线性组合，其频谱,只不过是一个权重因子。,(3)引入了空间频率的概念.沿等位相线法线方向:,综合上述分析，逆傅里叶变换的物理意义是：物函数f(x,y)可以看成是无数振幅不同(|F(fx,fy)|dfxdfy)，方向不同(cos=fx，cos=fy)的平面波线性叠加的结果。此即傅里叶分解。,图1-5-1 函数 e
6、i2(fxx+fyy)的零位相直线族,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform广义 F.T.,对于某些不符合狄氏条件的函数,求F.T.的方法.,例:g(x,y)=1,在(-,+)不可积,对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,函数系列变换式的极限原来函数的广义F.T.,可定义:g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t)t,根据广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义:,1=d(fx,fy),按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.,例1：求,解:计算过程分为三个步骤：,显然有：,(1)选择适当的函数序列,例如,(1-5-6),(3)求极限:
7、上式就是符号函数的广义傅里叶变换.,(1-5-7),(2)求变换:,例2：求,解:(1)选择适当的函数序列,例如选取,显然有：,(2)求变换,(1-5-8),令,并利用积分公式;,容易求得:,(3)求极限:由上式取极限最后得到,二、极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的F.T.,依F.T.定义:,极坐标变换,令:,则在极坐标中:,则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：,1-7 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 极坐标下的二维傅里叶变换,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换,当 f 具有园对称性，即仅是
8、半径r的函数:f(x,y)=g(r,q)=g(r).依F.T.定义:,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换例:利用F-B变换求圆域函数的F.T.,定义:是圆对称函数,作变量替换,令r=2prr,并利用:,将频谱函数G(f)分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换),然后根据g(x)的虚、实、奇、偶 性质讨论频谱的相应性质.,注意:并非实函数的频谱一定是实函数.只有厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数.,二维傅里叶变换2-D Fourier Transform,三.虚、实、奇、偶函数的 F.T.,二、F.T.定理-F.T.的基本性质
9、,1.线性定理 Linearity,2.空间缩放 Scaling(相似性定理）,二、F.T.定理 空间缩放,注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化.反之亦然.,f,0,2,-2,1/2,二、F.T.定理 3.位移定理 Shifting,频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.,空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.,二、F.T.定理 4.帕色伐(Parseval)定理,若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压,则|g(x)|2dx 代表信号的总能量(或总功率),|G(f)|2代表能量(功率
10、)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率),Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒,二、F.T.定理-Parseval定理的证明,交换积分顺序,先对x求积分:,利用复指函数的F.T.,利用d 函数的筛选性质,思考题:,二、F.T.定理 5.卷积定理,空域中两个函数的卷积,其F.T.是各自F.T.的乘积.,空域中两个函数的乘积,其F.T.是各自F.T.的卷积.,将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用.亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积,卷积定理的证明,交换积分顺序:,应用位移定理,应用F.T.定义,7.自相关定理,9.迭次变换定理,6.互相关定理,(表示互功率谱),8.积分定理,10.积分变换定理,12.共轭变换定理 若f(x,y)是非负的实函数(例如光强度),则有 具有上述性质的函数称为厄米特函数.,11.微分变换定理,
