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1、第三章 线性时不变系统对随机信号的响应,要解决的问题：已知输入信号的统计特性，其经过线性移不变系统后输出的统计特性类型有连续、离散系统，有二端、多端系统，要分别进行分析。,确定信号通过LTI系统的响应：时域为卷积关系y(t)=x(t)*h(t)频域为乘积关系Fy()=H()Fx()x(t)Fx()y(t)Fy()h(t)H(),当输入信号x(t)是随机信号时，由于随机信号不存在傅立叶变换，就不能对时域卷积做傅立叶变换。所以，研究随机信号通过LTI系统的任务就是：研究输入和输出间的相关函数和功率谱密度函数间的关系。具体为输出、输入信号之间自相关函数和功率谱的关系、输入和输出间互相关函数和互谱，并
2、把它们和冲激响应与频率特性联系起来。,3.1 连续随机信号通过LTI系统,二端LTI系统,一、二端LTI系统本章所有结论的适用条件为输入为平稳的，而系统为稳定的LTI系统。则输出为平稳输出信号。,1、输出均值,式中H(0)是系统的频率特性在=0时的值。,输出信号的均值等于输入随机信号均值乘以系统频率特性的直流分量。,2、输入输出互相关函数,输入输出互相关函数等于输入随机信号的自相关函数与系统冲激响应的卷积。,3、输出随机信号的自相关函数,输出随机信号的自相关函数等于输入输出互相关函数与系统冲激响应的负卷积，还等于输入随机信号的自相关函数与系统冲激响应的正负两次卷积。,4、功率谱,（1）输入与输
3、出之间的互功率谱，就是互相关函数的傅立叶变换。,根据时域卷积对应频域乘积,（2）输出自功率谱,输入自相关函数、输出自相关函数、输入输出互相关函数三者之间关系,5、对协方差有类似公式,二、两个随机过程的相干函数,两个随机过程x(t)和y(t)的相干函数定义一为：,如果x(t)和y(t)是某一线性系统的输入和输出,如果x(t)和y(t)不相关,可见，相干函数是从频域来描述两个随机信号各频率成分之间互相关联的程度。如果输入输出随机信号的相干函数大于0而小于1，则存在两种可能：1、联系x(t)和y(t)的系统是非线性的；2、测量值中含有外界噪声，即x(t)和y(t)是信号和噪声的叠加。,两个随机序列x
4、(n)和y(n)的相干函数定义二为：,用rxy(0)、rxy(m)代入上式得到：,多端LTI系统,生理信号的测量和处理往往要同时记录多通道信号。例如，记录脑电图，商业脑电图机有128导联，记录心电图常用3导联和12导联。处理这些信号需要考虑各导信号间的相互作用。这就需要研究多输入、多输出情况。先从二输入、二输出开始。,输入信号的功率谱和互谱所组成的22谱阵：,输出信号的功率谱和互谱所组成的22谱阵：,输入、输出信号之间的互谱所组成的22谱阵：,系统各端口间各频率特性所组成的矩阵：,则：,（2.1）,3.2 离散随机信号通过LTI系统,LTI系统的冲激响应为h(n)，输入离散随机信号是一个平稳随
5、机过程的一个取样序列，系统产生的输出信号y(n)也是一个离散随机信号，它是另一随机过程的一个取样序列。对于系统来讲，输入、输出信号和系统冲激响应存在下列关系：,下面研究输出随机序列的特征参数，以及输入输出随机序列这些参数的关系。,1、输出随机序列均值,H(ej0)为系统的频率特性在=0时的值,由于输入随机过程为平稳随机过程,输出随机过程均值是与时间n无关的一个常量，与输入随机过程均值成正比，比例系数是系统频率特性在零频率的取值。,2、输出随机过程的自相关序列,从上式看出：输出随机序列的自相关序列只与时间差m有关，而与时间起点的选择（即n的选取）无关，故有Ryy(n,n+m)=Ryy(m)，则上
6、式可化简为：,令l=r-k，可表示为（可考虑其他方法推导）,结论：确定信号的输出等于输入信号与系统的单位冲激响应的卷积；随机信号的输出过程的自相关函数，等于输入信号的自相关函数与系统的单位冲激响应的自相关函数的线性卷积；确定性离散时间信号作用于LTI系统与随机性离散时间信号作用于LTI系统非常类似。,3、输出随机过程的功率谱,上面式子等号两端进行Z变换，得到：,Sxx(z)和Syy(z)分别等于Rxx(m)和Ryy(m)的Z变换,Shh(z)是Rhh(z)的Z变换，得到：,物理意义：一个随机信号通过系统，从频域看其输出功率谱密度等于输入功率谱密度与系统频率响应的模平方的乘积。,于是得到：,|H
7、(z)|为H(z)的模。如果系统稳定，那么Syy(z)的收敛域包含单位圆，有,4、输入随机过程和输出随机过程的互相关函数和互功率谱密度,系统的输入信号与输出信号之间的互相关序列，等于输入信号自相关序列与系统冲激响应的线性卷积。,输入自相关函数、输出自相关函数、输入输出互相关函数三者之间关系,设（自相关函数的z变换存在），转换到z域有，用功率谱表示有,结论：输入一个零均值平稳白噪声，就可以通过计算系统输入输出之间的互相关序列或互功率谱，来求系统的冲激响应或频率特性。,求输入零均值平稳白噪声的LTI系统的单位冲激响应。,零均值平稳白噪声,如图为一理想带通滤波器的频率特性H(ej)，当输入端作用一个
8、功率谱为Sxx(ej)、均值为0的平稳随机过程，求输出响应的平均功率。,上面式子等号右边积分代表输入信号无衰减地通过带通滤波器的总功率，该总功率除以，代表输入信号在该频带内的平均功率，式子左边为输出信号的平均功率。,5、输出随机过程均方值：,例题：有一LTI系统，其系统函数为,当输入端作用一个白噪声w(n)时，在其输出端得到一个随机信号x(n)。设白噪声方差等于1，即=1，求随机信号x(n)的自相关序列。,解：,将上式进行z反变换，得：,作业：1、令y(t)=x(t-D)+v(t)为接收信号，式中D表示信号x(t)的传播延时，已知x(t)和v(t)是相互独立的零均值的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为：求互相关函数 和互功率谱密度,2、将式（2.1）展开推出的表达式。,时域卷积和,1、输入信号xn=sin(0.2n),n0，系统单位脉冲响应hn=sin(0.5n),n0。计算n=0,1,2,40时的相应yn。xn hn,n=0:40;x=sin(.2*n);stem(n,x);h=sin(.5*n);stem(n,h);y=conv(x,h);stem(n,y(1:length(n),filled);,Matlab程序：,yn,调用程序指令：y=myconvxh();/回车,
