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1、第一节 可测函数及其性质,第四章 可测函数,三.可测函数的性质,一.可测函数定义,二.可测函数的等价描述,四.可测函数与零集的关系,五.可测函数与简单函数的关系,一.可测函数定义,定义1：设f(x)是可测集E上的实函数(可取)，若 可测，则称f(x)是E上的可测函数,例(1)零集上的任何函数都是可测函数。,例(2)简单函数是可测函数,注：0,1上的Dirichlet函数是简单函数。,例（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数,对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，,设f(x)为E上有限实函数，称f(x)在 处连续,结论：可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数,证明：任取xEfa,则
2、f(x)a,由连续性假设知，,则G为开集，为可测集，且,二.可测函数的等价描述,证明：,定理1 设f(x)是可测集E上的实函数，下列任一条件都是f(x)在E上可测的充要条件,三.可测函数的性质,定理1:可测函数关于子集、并集的性质,反之，若,f(x)在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。,即:若f(x)是E上的可测函数,可测，则f(x)在E1上也是可测函数；,即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则对任意的有限实数，f(x)，f(x)+g(x),f(x)-g(x),1/f(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)，|f(x)|仍为E上的可测函数。,定理2：可测函数类关于四则运
3、算封闭,定理3:可测函数类关于确界运算和极限运算封闭.,推论：特別当极限存在时，它也是可测函数。可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。,即若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。,例：R1上的可微函数f(x)的导函数f(x)是可测函数,利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.,从而f(x)是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f(x)是可测函数.,证明：由于,94页第2题 设fn是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.,证明：发散点全体为 收敛点全体为,再,1：几乎处处成立,四.可测函数与零集的关系,例1：,例2：,注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性,证明：令E 1=Efg，E 2=Ef=g，则m E1=0从而 g(x)在E1上可测，,定理：设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测,另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测，进一步g(x)在E=E1 E2上也可测。,2：函数可测性与零集的关系,注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛,若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到,五.可测函数与简单函数的关系,
