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1、对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念和性质,前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分,其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式,抽象概括得到对面积的曲面积分的概念,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,1.定义,其物理背景是面密度为 f(x,y,z)的曲面块的质量,2.对面积的曲面积分的性质,由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似,）线性性,）可加性,）存在性,二、对面积的曲线积分的计算法,按照曲面的不同情况分为以下三种：,则,则
2、,则,这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式,简述为：一代、二换、三投影,代：将曲面的方程代入被积函数,换：换面积元,投影：将曲面投影到坐标面得投影区域,注：,（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加,（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式,（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数,（4）切记任何时候都要换面积元,例1,解,例2 计算,与平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面,解,在 xoy 内的投影区域,o,x,y,z,例3 计算,z=0 与 z=H 之间的圆柱面,解,由对称性 有,例4,解,依
3、对称性知：,注,对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性,对称于xoy（或yoz，或 zox）坐标面,若 f（x,y,z)关于z（或 x，或 y）是奇函数,若 f（x,y,z)关于z（或 x，或 y）是偶函数,完全类似于三重积分的对称性,例5 计算,解,例6,解,（左右两片投影相同）,例7,解,例8 求均匀曲面,的重心坐标,解,由对称性,故 重心坐标为,例9,解,例10 计算,解,由奇偶对称性,上半球面,下半球面,另解,由曲面形心公式,注,对面积的曲面积分的应用,面积,质量,重心,转动惯量,三、小结,1、对面积的曲面积分的概念;,2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.,（按照曲面的不同情况分为三种）,思考题,在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.,思考题解答,是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.,练 习 题,练习题答案,
