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1、1,第五节 对坐标的曲面积分,一.有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,2,其方向用法向,方向余弦,0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面,0 为右侧 0 为左侧,0 为上侧 0 为下侧,外侧内侧,设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,量指向表示:,其面元,在 xoy 面上的投影为,记,的面积为,则规定,3,二、概念的引入,实例:流向曲面一侧的流量.,4,5,1.分割,则该点流速为.,单位法向量为.,6,3.求和,7,4.取极限,8,三、概念及性质,9,被积函数,积分曲面,类似可定义,10,存在条件:,
2、组合形式:,物理意义:,11,性质:,12,四、计算法,13,14,注意(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,15,例1.计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第五卦限部分.,解:把 分为上下两部分,16,例1.计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第五卦限部分.,解:把 分为上下两部分,17,其中 是旋转抛物面,取下侧。,解：,在 xoy 面投影域为,取 的方向为下侧，,其中：,把 分成两部分：,18,取前侧；,取后侧。,19,20,例3.计算积分,其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立,方体的整个表面的外侧.,解:,由被积表达式及积分曲面的对称性知,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,21,五.两类曲面积分的联系,定义,22,其中,23,两类曲面积分之间的联系,24,向量形式,25,例4.设,是其外法向量与 z 轴正,向夹成的锐角,计算,解:,26,解,其中 是旋转抛物面,取下侧。,27,28,
