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1、自变量的变化引起函数值的变化，两个基本问题：,1.函数随自变量变化的变化速度（比率）问题，即函数对自变量的变化率问题。2.自变量的微小变化导致函数变化多少的问题。,此为导数与微分的问题，本章的两个基本问题,(1).切线问题:求曲线 在点 处的 切线,第一节 导数的概念,另一点 沿曲线 趋向点 时,割线 的极限位置,1 导数的定义,所谓曲线 在其上点 处的切线,是指当 上,割线 的斜率:,切线斜率,(2).变速直线运动的瞬时速度问题,在时刻 到 的时间间隔内,平均速度,如果当 时,上式的极限存在,则,设一物体作变速直线运动，运动的位置函数为,求在时刻 的瞬时速度。,定义1.1（导数）,或,若极限
2、不存在,则称 在 处不可导。,2.为方便起见，当 时,也称 在点 处的导数为无穷大.,3.左导数:,右导数:,函数 在 处可导,类似定义右导数,此极限值称为左导数，并称f 在 处左可导，记作：,此时对区间I内的任一点,都对应着 的一个确定的,导数值,于是就构成了I上一个新的函数,这个函数称为,原来函数 的导函数,记为,即:,若函数 f 在区间 I 内的每一点处都可导(若I包含端点，则在左端点右可导，右端点处左可导），则称函数 f 在区间I上可导。,例1.求函数(为常数)的导数.,解:,即:,例2.求(为正整数)的导数.,解:,一般地,当 为任意实数 时,上面的公式也成立.,即:,例 3.求 的
3、导数,及它在 处的导数.,解:,即:,类似可得:,例 4.求 的导数.,解:,即:,特别地:,例 5.,例 6.,解:,注：左右导数是研究分段函 数在分段点可导与否的有效工具。,例 7.设,求,解:,2.导数的几何意义：,若函数 f 在 处不可导，但单侧导数存在，则,例 10.求曲线 在点 处的切线和法线方程,解:切线斜率:,切线方程为:,即:,法线方程为:,即:,例11讨论函数 在点 处的连续性和可导性及相应的曲线在点 处切线的 存在性。,即 存在,于是由,得:,3.可导与连续的关系,定理1.1,这表明,在 处连续.,设函数 在 处可导，,左可导,左连续,右可导,右连续,区间I上可导,区间I
4、上连续,逆命题不成立：,亦有处处连续但处处不可导的函数。,例13.,解:,第二节 求导的基本法则,1.基本初等函数的求导公式,2.四则运算,证明:,仅证（3）,注:和与积的导数公式可以推广到任意有限多个函数.,例如:,例1.求下列函数的导数：,解:,类似地可得,例 2.,求,解:,类似地可得,例 3.,解:,例 4.,解:,故,例5.,解:,定理2.2 设函数 在区间 上单调连续，,2.反函数的求导法则,2:定理表明反函数的导数等于直接函数在相应点处的导数的倒数,注1:后面将证明若在I上，则 f 是 I上 的单调连续函数。,解:的反函数为,于是,解:,同理可得:,的反函数为,于是,定理2.3(
5、链式法则）,或,3.复合函数的求导法则,证明：,即:,注：此为求导法则中最重要的公式，可推广到 任意有限个情形。应用时要看清复合层次，求导时要由外向内逐层求导，不重复，不遗漏。,例 8,求.,例9,解:,解,例10.求下列函数的导数:,解(1)当 时,因而,当 时,例11.求下列函数的导数:,其中 可导.,4.初等函数的求导问题,一切初等函数的求导问题都解决，可导的初等函数的导函数仍为初等函数。,基本的求导公式表：,例12.求下列函数的导数:,此为对数求导法，当所求导的函数为连乘积函数或幂指函数时，可考虑用此法。,习题2.1 P.87-892.(4)3.4.6.8.10.(1)11.(1)(3
6、)(4)(5)(6)12.(2)(4)13 14 16 23.(2)(4)(5)(6)(9)(12)(14)(15)(19)(20)(21)24.(2)(3),5.高阶导数,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,函数,例13.求下列函数的 阶导数:,解:,一般地,可得:,特别,特别,一般地,可得:,类似地,可得:,定理2.4,例 14.,求.,解:设 则,于是,解:,例15.求下列函数的 n 阶导数:,例16.,解:,6.隐函数求导法,显函数,隐函数,链式法则,例17,解：方程两边对 求导，得：,在点 处切线斜率 法线斜率 因此所求切线与法线方程分别为 与,例18,解：应用隐函数的求导法,得,上
7、式两边再对 求导,得:,例19,7.由参数方程确定的函数的求导法则,求,解:,例20.设,解：,8.相关变化率（自学内容）,相关变化率,例22.一气球从离开观察员 500米处离地面铅直上升 其速率为 140 米/秒。当气球高度为 500 米时，观察员视线的仰角增加率是多少？,解：设气球上升 t 秒后其高度为 h，观察员的仰角,其中,都是时间 t 的函数。,上式两边对 t 求导，得：,即观察员视线的仰角增加率是 0.143 弧度/秒。,代入上式得,例 23.甲船向正南乙船向正东直线航行,开始时甲船恰在乙船正北 40 km处,后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km,此时速率为 15km/h;乙船向东航行了15 km,此时速率为 25km/h。问这时两船是在分离还是在接近，速率是多少？,上式两边对 t 求导，得,解：如图，设在任一时刻 t 甲船航行的距离为 x(t)，乙船航行的距离为 y(t)，两船的距离为 z(t),则,代入上式,得,3 km/h 的速率彼此远离。,习题2.1 P.90-91,25.(5)(6)26.(1).27.(2)28.(2)29.31.(6)(7)32.(2)(3)(6)37.(2)41,
