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1、总复习 无穷级数,一、基本题型,例1 选择题,1.设常数 k 0,则级数,(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛与发散与 k 有关.,提示:,绝对收敛,条件收敛,C,2.设 a 是常数,则级数,(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)收敛性与 a 的取值有关.,提示:,而,发散,故原级数发散.,C,绝对收敛,(常数 a 0)(),3.级数,(A)发散;(B)条件收敛;(C)绝对收敛;(D)收敛性与 a 的有关.,提示:,因,收敛,故原级数绝对收敛,所以应选(C),C,4.设 常数,(A)发散;(B)条件收敛;(C)绝对收敛;(D)收敛性与 有关.,提示:,而,和,都收
2、敛,故原级数绝对收敛,C,收敛,则级数,且级数,且,5.设,提示:正项级数,收敛,收敛,所以原级数绝对收敛,A,则级数,收敛,常数,(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)敛散性与 有关.,肯定收敛的是（),6.设,则下列级数中,提示:,D,收敛,绝对收敛,7.幂级数,的收敛半径 R=.,提示:,当,时级数收敛,的收敛域为,则 a 应满足.,提示:,当且仅当0 a 1 时,0 a 1,8.若幂级数,9.设,的傅立叶级数为,则系数,级数在,处收敛于,提示:,判断下列级数的敛散性,例2,原级数为条件收敛。,解,原级数收敛,原级数发散,解,原级数发散。,10、,解,又,则原级数为条件收敛。
3、,发散,解,原级数收敛,原级数发散。,解:,收敛,14,15.,解:,所以当,即,时,收敛，原级数绝对收敛。,即,时原级数,级数为条件收敛。,或,时,发散，,从而原级数发散。,当,时原级数,发散。,当,且,例3.给定级数,级数收敛,当 时级数发散.,当 时,提示:,故,时原级数收敛;,时原级数发散;,时,故原级数也发散,例4.设幂级数,必定在区间 内收敛.,的收敛半径为 3,则幂级数,提示:令,则,收敛半径均为 3,(2,4),故,必在,这里关键用到幂级数求导后收敛半径不变,即,内收敛.,与,例5.求幂级数,的收敛区间.,解:令,则,又,时级数的一般项不趋于 0,因此收敛区间为,解,例6,解:原式=,求和函数：,例7,原式,显然 x=0 时,和为 0;,根据和函数的连续性,有,x=1 时,级数也收敛,例8 求级数,的和。,解 设级数,例9,例11.将函数,展开为,的幂级数，,并求级数,的和。,解,
