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1、相交线与平行线知识结构,相交线,1.平面内两条直线的位置关系有：_.,相交、平行,1.平面内两条直线的位置关系有：_.2.“同一平面内两条直线的位置关系有相交、垂直平行三种.”这句话对吗？为什么？3.相交：当两条直线有公共点时，我们就说这两条直线相交.4.平行：同一平面内，不相交的两条直线互相平行.,相交线,相交、平行,两条直线相交,如图，直线AB与CD相交，则1与2互为_；1与3互为_.,1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角.2.对顶角：一个角的两边分别为另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.3.对顶角的性质：对顶角相等.,邻补角,对顶角,练一练
2、,直线AB、CD、EF相交于点O，若AOC=35，则 AOD=，BOD=.,E,A,O,C,F,B,D,145,35,A,B,C,D,O,在解决与角的计算有关的问题时，经常用到代数方法。,垂线、垂线段,1.垂线：两条直线相交所成四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.2.垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.3.垂线段：垂线段最短.,垂线、垂线段,4.垂线段的性质：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.直线外一点与直线上所有各点的连线中，垂线段最短。5.点到直线的距离：直线外一点到这条
3、直线的垂线段的长度.叫做这点到这条直线的距离。,拓 展 应 用,如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由。,C,理由:垂线段最短,练一练,已知P是直线l外一点，A、B、C是直线l上一点，且PA=5，PB=3，PC=2，那么点P到直线l的距离为（）A.等于2 B.大于2C.小于或等于2D.小于2,C,练一练,图中能表示点到直线的距离的线段有()A 2条B 3条C 4条D 5条,D,练一练,分别过点A、B、C画对边BC、AC、AB的垂线，垂足分别为D、E、F.,B,A,C,D,E,F,三线八角,如图，图中的同位角有：内错角有：同旁内角有：,
4、1与5，2与6，3与7，4与8,3与5，4与6,3与6，4与5,练一练,如图，1与2是_和_被_所截形成的_角？3与4是_和_被_所截形成的_角？,AD,BC,AC,内错,AB,CD,AC,内错,练一练,如图，1与2是_和_被_所截形成的_角？3与4是_和_被_所截形成的_角？,AD,BC,CD,同旁内,AB,CD,BE,同位,平行线,1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：如果ba，ca，那么_.,bc,平行线的性质,平行线的判定,两直线平行,条件,结论,同位角相等,内错角相等,同旁内角互
5、补,条件,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,结论,两直线平行,夹在两平行线间的垂线段的长度,叫做两平行线间的距离。,A,B,C,D,E,F,1,2,3,4,5,6,如图：填空，并注明理由。（1）、1=2（已知）（）3=4（已知）（）5=6（已知）（）5+AFE=180（已知）（）AB FC,ED FC（已知）（）,AB,ED,内错角相等。两直线平行，,AF,BE,同位角相等，两直线平行。,BC,EF,内错角相等，两直线平行。,AF,BE,同旁内角互补，两直线平行。,AB,ED,平行于同直线的两条直线互相平行。,平行线的判定应用练习：,例2.已知DAC=ACB,D+DFE=1800,求证:E
6、F/BC,证明:DAC=ACB(已知)AD/BC(内错角相等,两直线平行)D+DFE=1800(已知)AD/EF(同旁内角互补,两直线平行)EF/BC(平行于同一条直线的两条直线互相平行),A,B,C,D,E,F,例1.如图 已知：1+2=180，求证：ABCD。,证明：由：1+2=180(已知)，1=3（对顶角相等）.2=4（对顶角相等)根据：等量代换得：3+4=180.根据：同旁内角互补，两直线平行 得：AB/CD.,例2.如图，已知：ACDE，1=2，试证明ABCD。,证明：由ACDE（已知）ACD=2(两直线平行，内错角相等)1=2（已知）1=ACD(等量代换)AB CD(内错角相等，
7、两直线平行),例3.已知 EFAB，CDAB，EFB=GDC，求证：AGD=ACB。证明：EFAB，CDAB（已知）ADBC(垂直于同一条直线的两条直线互相平行)EFB DCB（两直线平行，同位角相等）EFB=GDC（已知）DCB=GDC（等量代换）DGBC（内错角相等,两直线平行）AGD=ACB（两直线平行，同位角相等）,练一练,如图，已知直线ab，1=54，那么2，3，4各是多少度？,解：1=54 2=1=54（对顶角相等）ab 4=1=54（两直线平行，同位角相等）3=1802=180 54=126（两直线平行，同旁内角互补）,命题、定理,1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题.2.题设
8、、结论：将命题写成“如果那么”的形式，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论.,命题、定理,3.真命题、假命题：若题设成立，则结论也一定成立的命题，是真命题.若题设成立，则结论不一定成立的命题，是假命题.4.定理：有些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.,例1.判断下列语句，是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题?,画线段AB=2cm直角都相等;两条直线相交，有几个交点?如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。相等的角都是直角;,分析:因为(1)、(3)不是对某一件事作出判断的句子，所以(1)、(3)不是命题。解.(1)、(3)不是命题;(2)、(4)、(5)是
9、命题;(2)、(4)都是真命，(5)是假命题。,练习,1、下列命题是真命题的有（）A、相等的角是对顶角 B、不是对顶角的角不相等C、对顶角必相等 D、有公共顶点的角是对顶角E、邻补角的和一定是180度F、互补的两个角一定是邻补角G、两条直线相交,只要其中一个角的大小确定了,那么另外三个角的大小就确定了,C、E、G,练一练,（1）同角的补角相等；（2）等角的余角相等；（3）互补的角是邻补角；（4）对顶角相等；,（1）题设：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等.,说出下列命题的题设与结论：,（2）题设：两个角相等；结论：它们的余角也相等.,（3）题设：两个角互补；结论：它们是邻补角.,（4）
10、题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等.,如图给出下列论断:(1)AB/CD(2)AD/BC(3)A=C以上，其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果，那么”的形式，写出一个你认为正确的命题。,A,B,C,D,分析:不妨选择(1)与(2)作条件，由平行性质“两直线平行，同旁内角互补”可得A=C，故满足要求。由(1)与(3)也能得出(2)成立，由(2)与(3)也能得出(1)成立。,解:如果在四边形ABCD中，AB/DC、AD/BC，那么A=C。,探究创新:,平移,1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.2.新图形中的每一点，都是由原图形中
11、的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.3.图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移.,平移的基本性质：,对应线段平行（或在同一直线上）且相等；对应角相等；对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等.,例1.在以下生活现象中,不是平移现象的是,站在运动着的电梯上的人左右推动的推拉窗扇小李荡秋千运动的躺在火车上睡觉的旅客,分析:A、B、D属平移，在一个位置取两点连成一条线，在另一个位置再观察这条线段，发现是平行的，而C同样取两点连成一条线段，运动到另一位置时，可能已不平行,解:选C,2.下列生活中的物体的运动情况可以看成平移的是()（1）摆动的钟摆（2）在笔直的公路上
12、行驶的汽车（3）随风摆动的旗帜（4）摇动的大绳（5）汽车玻璃上雨刷的运动（6）从楼梯自由落下的球（球不旋转）,例2.如图所示，ABC平移到ABC的位置，则点A的对应点是_，点B的对应点是_，点C的对应点是_。线段AB的对应线段是_，线段BC的对应线段是_，线段AC的对应线段是_。BAC的对应角是_，ABC的对应角是_，ACB的对应角是_。ABC的平移方向是_，平移距离是_。,A,B,C,A,B,C,A,B,C,沿着射线AA,(或BB，或CC)的方向,线段AA的长,(或线段BB的长或线段CC的长,知识应用：,“过一点有且只有一条直线与已知直线平行”这句话对吗？为什么？,过直线外一点,知识应用：,
13、在同一平面内，两条直线的位置关系是（）A.相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交、平行或垂直,C,知识应用：,（1）图1中有几对对顶角？（2）若n条直线交于一点，共有_对对顶角？,m,n,O,l,图1,l2,l3,l4,l5,l1,ln,6对,知识应用：,1.如图，D=DCF（已知）_/_（）2.如图，D+BAD=180（已知）_/_ _（）,AD,BC,AB,DC,内错角相等，两直线平行,同旁内角互补，两直线平行,知识应用：,能由AOB平移而得的图形是哪个？,A,B,C,D,E,F,O,答：OFE，OCD,知识应用：,下列说法正确的有()对顶角相等；相等的角是对顶角；若两个角不相等，则这两
14、个角一定不是对顶角；若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,B,知识应用：,如图，不能判别ABCD的条件是（）A.B+BCD=180 B.1=2C.3=4 D.B=5,B,ADBC,知识应用：,直线AB、CD相交于点O，OE是射线，1=32，2=58，则OE与AB的位置关系是_.,垂直,E,A,O,C,B,D,1,2,AOE=180-1-2=90（平角定义）OEAB（垂直定义）,知识应用：,如图，B=70，BEF=70，DCE=140，CDAB，求BEC的度数,解：B=BEF=70ABEF又CDABCDEFDCE=140CEF=40BEC=BEF-CEF=
15、70-40=30,知识应用：,直线AB、CD相交于点O，OE平分BOD，OF平分BOC，2：1=4：1，求AOC的度数.,解：设1=x2：1=4：12=4xOE平分BODDOE=1=x DOB=21=2x由2+DOE+1=1804x+x+x=180 x=30AOC=DOB=60,知识应用：,直线AB、CD相交于点O，OMAB.(1)若1=2，求NOD的度数；(2)若BOC=41，求AOC、MOD的度数.,解：（1）OMABMOB=MOA=90BOC=AOD(对顶角相等)1+MOB=2+NOD又1=2NOD=MOB=90,解：（2）设1=xBOC=41=4xMOB=BOC-1=3x又MOB=MO
16、A=903x=90，x=30AOC=MOA-1=60BOD=AOC=60，MOB=90MOD=BOD+MOB=150,知识应用：,如图，ABCD，EF分别交AB、CD于M、N，EMB=50，MG平分BMF，MG交CD于G，求1的度数.,解：EMB=50BMF=180-EMB=130MG平分BMFBMG=1/2BMF=651=BMG=65,知识应用：,如图，已知DE、BF分别平分ADC 和ABC，1=2，ADC=ABC.试说明ABCD.,解：DE、BF分别平分ADC 和ABC3=1/2ADC，2=1/2ABC又ADC=ABC3=21=21=3ABCD（内错角相等，两直线平行）,知识应用：,如图，
17、在长方形ABCD中，ADB20，现将这一长方形纸片沿AF折叠，若使AB BD，则折痕AF与AB的夹角BAF应为多少度？,解：长方形ABCD中，BAD=90ADB=20ABD=70AB平行BDBAB=180-ABD=110由题意可知BAF=1/2BAB=55,已知：ABCD。试探索A、C与AEC之间的关系；B、D与BFD之间的关系。,几 何之 旅,1,2,3,4,练习:,如图,已知 ABCD,1=30,2=90,则3=_,如图,若AECD,EBF=135，BFD=60,D=（）A、75 B、45 C、30 D、15,图1,图2,1、如图，已知ABCD，ABF=DCE.试说明：BFE=FEC.,思考题,
