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1、3.2.1立体几何中的向量方法方向向量与法向量,A,P,直线的方向向量,直线的向量式方程,换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量,一、方向向量与法向量,1直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 的向量,平行或共线,例1:已知长方体ABCDABCD的棱长AB=2,AD=4,AA=3.建系如图,求下列直线的一个方向向量:(1)AA;(2)BC;(3)AC;(4)DB.,A,B,C,D,A,B,C,D,解:A(4,0,3),B(4,2,3),C(0,2,3),x,y,z,2,4,3,D(0,0,3),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0).,例2:已知所有
2、棱长为 的正三棱锥A-BCD,试建立空间直角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量.,A,B,C,D,E,F,x,y,z,(O),解:建系如图,则B(0,0,0)、,B,E,F,x,y,z,(O),2、平面的法向量,l,平面 的向量式方程,换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量,2平面的法向量 直线l，取直线l的 a，则a叫做平面的法向量.,方向向量,例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为_平面OABC 的一个法向量坐标为_平面AB1C 的一个法向量坐标为_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),如何刻画平面的方向？,二、平面的法向量：,例3：长方体中，
3、求下列平面的一个法向量：,（1）平面ABCD;(2)平面ACCA;(3)平面ACD.,x,y,z,A,B,C,D,A,B,C,D,2,3,4,x,y,z,A,B,C,D,A,B,C,D,2,3,4,x,y,z,A,B,C,D,A,B,C,D,2,3,4,求平面向量的法向量,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.,用向量方法解决立体问题,二、立体几何中的向量方法证明平行与垂直,m,l,（一）.平行关系：,（二）、垂直关系：,l,m,l,A,B,C,四、平行关系：,五、垂直关系：,例1 四棱
4、锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE/FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证：如图所示,建立空间直角坐标系.,/,几何法呢？,例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,法1 几何法,A,B,C,D,P,E,法2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：连结AC,AC交BD于点G
5、,连结EG,A,B,C,D,P,E,法3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,设平面EDB的法向量为,A,B,C,D,P,E,法4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,解得 x,证明：设正方体棱长为1，为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，,所以,E是AA1中点，,例3 正方体,平面C1BD.,证明：,E,求证：平面EBD,设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系,平面C1BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面EBD的一个法向量是,平面C1BD.,平面EBD,x,y,z,期中22如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点,(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC 的值,x,y,z,E,课后作业,E,A,B,C,D,F,
