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1、1,投资学 第7章,最优风险资产组合,2,2,本章逻辑：风险资产组合与风险分散化原理风险资产组合的优化从资本配置到证券选择,3,3,7.1 分散化与投资组合风险,投资组合的风险来源：来自一般经济状况的风险(市场风险、系统性风险、不可分散风险)特别因素风险(独特风险、公司特有风险、非系统风险、可分散风险),4,图 7.1 Portfolio Risk as a Function of the Number of Stocks in the Portfolio,4,5,图7.2 投资组合分散化,5,6,6,7.2 两种风险资产的投资组合,7,表7.2 通过协方差矩阵计算投资组合方差,7,8,8,两
2、风险资产之间的相关系数：,9,表7.1 两只共同基金的描述性统计,9,10,表7.3 不同相关系数下的期望收益与标准差,10,11,11,允许卖空：,12,12,投资组合期望收益与投资比例之间的关系,13,图7.3 组合期望收益为投资比例的函数,13,14,14,投资组合风险与投资比例之间的关系,情况一：,15,15,情况二：,16,16,情况三：,17,图7.4 作为投资比例函数的组合标准差,17,18,最小方差投资组合,18,19,19,组合的机会集与有效集,资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。有效组合（Eff
3、icient portfolio）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和空间中的一个点。有效集（Efficient set）：又称为有效边界、有效前沿（Efficient frontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。,20,20,命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集合是一条直线（假定不允许买空卖空）。由资产组合的计算公式可得,21,21,两种资产组合完全正相关，当权重wD从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的机会集合（假定不允许买空卖空）。,收益 E(rp),风险p,D,E,22,22,命题2：
4、完全负相关的两种资产构成的机会集合是两条直线，其截距相同，斜率异号。由资产组合的计算公式可得,23,23,两种证券完全负相关的图示,收益rp,风险p,D,E,24,24,命题3：不完全相关的两种资产构成的机会集合是一条二次曲线由资产组合的计算公式可得,25,25,各种相关系数下、两种风险资产构成的资产组合机会集合(portfolio opportunity set),D,收益E(rp),风险p,=1,=0.3,=-1,E,26,图7.5 投资组合的期望收益为标准差的函数,26,27,投资组合的有效前沿？,27,28,28,7.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置,组合方法：两项风险资产先组合
5、形成新的风险资产组合，然后再向组合中加入无风险资产形成的资本配置线(CAL)中斜率最高的，效用水平最高,29,图7.6 债券与股票基金的可行集和两条可行的CALs,29,30,30,最优风险资产组合P的求解,31,图7.7 The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds with the Optimal CAL and the Optimal Risky Portfolio,31,32,图7.8 Determination of the Optimal Overall Portfolio,32,33,图7.9 The Proportions o
6、f the Optimal Overall Portfolio,33,34,34,小结：两种风险资产与无风险资产组合的配置程序,确定各类证券的收益风险特征建造风险资产组合 根据式(7-13)计算最优风险资产组合P的构成比例根据式(7-2)、(7-3)计算资产组合P的收益风险特征配置风险资产组合和无风险资产根据式(7-14)计算风险资产组合P与无风险资产的组合权重计算最终投资组合中具体投资品种的份额。,35,35,7.4 马科维茨的资产组合选择模型,均值-方差（Mean-variance）模型是由Harry Markowitz于1952年建立的，其目的是寻找投资组合的有效边界。通过期望收益和方差
7、来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。因此，根据投资组合比较的占优原则，这可以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化（2）给定风险的条件下，收益最大化,36,36,37,37,对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子和来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下,上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件为0，得到方程组,38,38,和方程,39,39,这样共有n2方程，未知数为wi（i1，2,n）、和，共有n2个未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。,40,40,正式证明:n项风险资产组合有效前沿,假定1：市场上存在
8、 种风险资产，令,代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：,且卖空不受限制，即允许,2.也是一个n维列向量，它表示每一种资产的期望收益率，则组合的期望收益,41,41,3.使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有,注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以，对于任何非0的向量,42,42,43,43,其中，是所有元素为1的n维列向量。由此构造Lagrange函数,44,44,因为是二次规划，一阶条件既是必要条件，又是充分条件,0=0,0,0T,45,45,46,46,47,47,48,48,49,49,有效组合集的几何特征,性质：有效组合集是均方平面上的双曲线,50,50,51,51,52
9、,52,这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最小方差曲线（min variance curve）。双曲线的中心是（0，A/C），渐近线为,53,53,g点是全局最小方差组合点（global minimum variance portfolio point）,均值,方差,wg,54,54,注意点wg以下的部分，由于它违背了均方准则，被理性投资者排除，这样，全局最小方差点wg以上的部分（子集），被称为均方效率边界(mean-variance efficient frontier),55,55,资产组合理论的优点,首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。分散
10、投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。开创了数量分析方法在金融学当中的应用,56,56,资产组合理论的缺点,当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。均值方差分析的成立条件：收益正态分布或二次型效用函数,57,图7.10 The Minimum-Variance Frontier of Risky Assets,57,58,图7.11 The Efficient Frontier of Risky Assets with the Optimal CAL,58,59,图 7.12 The Efficient Portfolio Set,59,
11、60,图7.13 Capital Allocation Lines with Various Portfolios from the Efficient Set,60,61,例：各资产相关系数矩阵、期望收益及标准差如表所示。试给出有效前沿。,62,MATLAB程序,Returns=0.1 0.15 0.12;STDs=0.2 0.25 0.18;Correlations=1 0.8 0.4 0.8 1 0.3 0.4 0.3 1;Covariances=corr2cov(STDs,Correlations)；portopt(Returns,Covariances,20)rand(state,0
12、);Weights=rand(1000,3);Total=sum(Weights,2);.,63,63,7.4.2 两基金分离定理（mutual-fund separation theorem）,表述：在均方效率曲线上任意两点的线性组合，都是具有均方效率的有效组合。或：有效组合边界上任意两个不同的点代表两个不同的有效投资组合，而其他任意点均可由该两点线性组合生成几何含义：过两点生成一条双曲线。,64,64,65,65,66,66,两基金分离定理的意义,定理的前提：两基金（有效资产组合）的期望收益是不同的，即两基金分离。金融含义：若有两家基金都投资于风险资产，且经营良好(即达到有效边界)，则按一
13、定比例投资于该两基金，可达到投资于其他基金的同样结果。这就方便了投资者的选择。CAL、CML实际上是在有风险资产组合和无风险资产组合之间又进行了一次两基金分离。此时投资者仅需确定一个有风险组合，即可达到各种风险收益水准的组合。资本配置更加方便。,67,67,分离定理对组合选择的启示,若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策（Capital allocation decision）和资产选择决策（Asset allocation decision）。资本配置决策：考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。资产选择决策：在众多的风险证券中选择适当的风险资产
14、构成资产组合。基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确定最优的风险组合。,68,68,7.4.3 分散化的力量,69,表7.4 Risk Reduction of Equally Weighted Portfolios in Correlated and Uncorrelated Universes,69,70,70,7.4.4 资产配置与证券选择,投资管理的复杂化投资工具的复杂化大规模投资管理的高业绩,71,71,7.5 风险聚集、风险分担与长期投资的风险,保险公司持有大量相互独立的保单，并不能有效分散风险，相反却是风险聚集从收益率的角度看，一系列打赌的收益标准差小于单次打赌从收益金额来看
15、，美元收益的标准差会随着打赌次数的增加而增加即：资产组合的美元方差增大，而收益率方差下降了结论：若存在固定的投资预算，要更多地考虑美元方差。亦即简单的风险聚集不能实现风险分担。,72,7.5.1 保险原则与风险聚集,考虑组合方差:似乎卖掉越多的保险，风险就会被分散，此即保险原则 此种想法的缺点类似于长期股票投资的风险会变小,72,73,保险原则与风险聚集Continued,将n个不相关的保单组合到一起，单个保单的期望收益 额为$,则期望总收益与标准差与n保持同比例增长:,73,74,7.5.2 风险分担,真正意义上的风险分担是：将一个固定数额的风险在众多投资者中分配,74,75,75,本章小结,风险资产组合分散化原理Markowitz投资组合理论、最优效率边界资本配置与证券选择两基金分离定理保险原则,
