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1、二、有关定积分计算和证明的方法,1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法,2.注意特殊形式定积分的计算,3.利用各种积分技巧计算定积分,4.有关定积分命题的证明方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.选择一个常数 c,使,解:令,则,因为被积函数为奇函数,故选择 c 使,即,可使原式为 0.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.证明恒等式,证:令,则,因此,又,故所证等式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,机动 目录 上页
2、 下页 返回 结束,至少存在一点,证明:令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0,从而不变号,因此,故所证等式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故由罗尔定理知,存在一点,思考:本题能否用柯西中值定理证明?,如果能,怎样设辅助函数?,设辅助函数,例15 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,(1)在(a,b)内 f(x)0;,(2)在(a,b)内存在点,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:(1),由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.,所以f(x),在(a,b)内单调增,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)设,满足柯西中值定理条件,于是存在,即,例7.设,证:设,且,试证:,则,故 F(x)单调不减,即 成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
