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1、第二节 标量场及其梯度,1、标量场定义及图示,对于区域V内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定的数值或标量(r)与之对应，我们就称这个标量函数(r)是定义于V内的标量场。,标量场有两种：与时间无关的恒稳标量场，用(r)表示；与时间有关的时变标量场，用(r,t)表示。,形象描绘场分布的工具-场线,标量场-等值线(面)。,其方程为,作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。,2、梯度,线元矢量：dl=dx ex+dy ey+dz ez,标量场的相应微增量d则为：,(1)梯度的导出,右图中，由(x,y,z)点到邻近的(x+dx,y+dy,z+dz)点的微分位移dl 将导致场函数有一微分
2、增量df,标量场(x,y,z)在(x,y,z)点的梯度(gradient)定义为：,因此,(2)方向导数与梯度的关系,偏导数、分别叫做 在x、y、z方向上的方向导数，用梯度表示为,推广到(x,y,z)在某点沿任意矢量l 方向的方向导数，则应表为,式中，el 是l 的单位矢量。,（3）梯度的物理意义,梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向.,梯度的大小为该点标量函数 f 的最大变化率，即该点最大方向导数；,标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数；,例1 电位场的梯度,电位场的梯度,与过该点的等位线垂直；,指向电位减少的方向。,数值等于该点的最
3、大方向导数；,电位场的梯度,（4）哈密顿算子（读作del或nabla）,直角坐标系中的具体形式为,单独存在没有任何意义；算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即，。在不同坐标系中，算符有不同的表达形式。,使用 算符时注意几点：,梯度运算的基本公式,掌握：1、如何求梯度；2、梯度的性质；3、梯度的数学应用。,（5）梯度运算的几个基本关系式,相对坐标标量函数 f(rr),证明：在直角坐标系中f(rr)=f(x x，y y，z z),令 x x=X，yy=Y，zz=Z，应用复合函数求导法则可得,即有,同理可得,上式重写为,等式若成立，则应有,证毕。,相对位置矢量R=rr的模R=rr,在直角坐标中,则,同理有,于是,根据算符的微分特性可得,（R 0）,例 2 求 f=4e 2x y+z 在点P1（1，1，1）处的由该点指向P2（3，5，6）方 向上的方向导数。,解：,于是，f 在P1 处沿R12 方向上的方向导数为：,
