椭圆标准方程及几何性质.ppt

《椭圆标准方程及几何性质.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆标准方程及几何性质.ppt（78页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、5.2 椭圆,第一节 椭圆的 标准方程,2008年9月25日晚21时10分04秒，“神舟 七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，实现了太空行走，标志着我国航天事业又上了一个新台阶。,生活中的椭圆,数学实验：,新课讲解,结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该如何定义椭圆？,思考：,平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。,1、椭圆的定义,如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：,P=M|MF1|+|MF2|=2a

2、（2a2c）,平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。,（1）平面曲线,（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a,（3）定长|F1F2|(2a2c),理解：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？,动点M的轨迹：,线段F1F2.,F1,F2,动点M的轨迹：,不存在.,O,X,Y,F1,F2,M,步骤一：建立直角坐标系,步骤二：设动点坐标,步骤三：列方程,步骤四：化简方程,求曲线方程的步骤:,2、椭圆的标准方程,步骤五：完备性检验,解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建

3、立平面直角坐标系(如图).,设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).,（想一想：下面怎样化简？）,由椭圆的定义，,代入坐标,则方程可化为,观察左图，你能从中找出表示 c、a 的线段吗？,即,a2-c2 有什么几何意义？,（）,焦点在y轴：,焦点在x轴：,椭圆的标准方程,F1（-c，0）、F2（c，0）,F1（0，-c）、F2（0，c）,注意理解以下几点：在椭圆的两种标准方程中，都有,的要求；,在椭圆的两种标准方程中，由于，,所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；,椭圆

4、的三个参数,之间的关系是，,其中,大小不确定,思考：（1）将一个底面圆半径为5的圆柱沿与底面成600角作一个截面，截面为椭圆，求其标准方程。（2）椭圆的中心在点（m,n），标准方程式什么？,分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。,注意：,1.下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？,跟踪练习,变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？,变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？,已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；,2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程,当

5、焦点在X轴时，方程为：,当焦点在Y轴时，方程为：,例1.椭圆两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P，求标准方程。,解：法1：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为,c=2，且 c2=a2-b2,4=a2-b2,又椭圆经过点P,联立可求得：,椭圆的标准方程为,例题讲解,法2：设它的标准方程为,由椭圆的定义知，,所以所求椭圆的标准方程为,求椭圆标准方程的步骤：（1）先判断焦点的位置，设出标准方程；（先定位）（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b.（后定量),1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=3,焦点在x 轴；（2）a=5,c=2,焦点在y 轴上,2椭圆,的焦距

6、是，焦点坐标为；,的弦，则,的周长为,若CD为过左焦点,跟踪练习,分母哪个大，焦点就在哪个轴上,a2-c2=b2,(ab0),P=M|MF1|+|MF2|=2a（2a2c）,知识总结,例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0),一、求椭圆的标准方程,例题讲解,跟踪练习,例2.已知动圆M过定点A(3,0)，并且内切于定圆B：(x3)2y264，求动圆圆心M的轨迹方程,二、利用椭圆的定义求轨迹方程,例3.已知圆B:(x+1)2+y2=16，A(1,0)，C为圆上任意一点，AC

7、中垂线与CB交于点P，求点P的轨迹方程。,例4.有一颗地球卫星沿地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行，卫星近地点约200公里，远地点约500公里，地球半径R约6400公里，求运行轨道方程。,x,o,F,F1,A,B,y,规律：近地点和远地点一定是长轴的两个端点。,1.已知动圆M和定圆C1：x2(y3)264内切，而和定圆C2：x2(y3)24外切求动圆圆心M的轨迹方程,跟踪练习,解：,设动圆,M,的半径为,r,，圆心,M,(,x,，,y,),，两定圆,圆心,C,1,(0,3),，,C,2,(0，3）,，半径,r,1,8,，,r,2,2.,则,|,MC,1,|,8,r,，,|,MC,2,|,r,2.

8、,|,MC,1,|,|,MC,2,|,(8,r,),(,r,2),10.,又,|,C,1,C,2,|,6,，,动圆圆心,M,的轨迹是椭圆，且焦,点为,C,1,(0,3),，,C,2,(0，,3),，且,2,a,10,，,a,5,，,c,3,，,b,2,a,2,c,2,25,9,16.,动圆圆心,M,的轨迹方程是,y,2,25,x,2,16,1.,2.设点A,B的坐标分别为(-5,0)，(5,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程。,思考：斜率之积为m(m0)?。,三、椭圆的应用,例5.方程 表示椭圆，求k的范围。,1.本例中其他条件不变，F1PF260改为F1PF

9、290，求F1PF2的面积,跟踪练习,思考：当F1PF2,时，焦点三角形面积S=?,第二节 椭圆的 几何性质,平面内与两个定点F1,F2的距离之和为常数2a(2a2c)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距(2c)。,1、椭圆的定义,注意“常数2a”的条件：2a=2c 等于线段 2a2c 小于无轨迹,知识回顾,按照坐标法的基本步骤推导，注意带根号的式子的化简。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为：焦点坐标为：F1(c,0)，F2(-c,0)其中,2、椭圆的标准方程,当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为：依然成立。焦点坐标为：F1(0,c)，F2(0,-c

10、),、范围,对于椭圆：,（ab0),为例,由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式,1,即x2a2,y2b2，,xa,yb.,1,椭圆的几何性质,新课讲解,x,这说明椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形里。,o,y,a,-a,b,-b,在椭圆上，任取一点(x,y),其关于x轴、y 轴和坐标原点对称的点仍在椭圆上。所以椭圆关于x轴、y 轴和坐标原点都是对称的。,x,o,(x,y),(x,y),(x,y),(x,y),y,、对称性,其中坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.,、顶点,椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点线段A1A2，

11、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长,x,o,(a,0),(0,b),(-a,0),(0,-b),y,A1,A2,B1,B2,4、离心率,【定义】,焦距与长轴长的比,【范围】,0e1.,【几何意义】,e1,椭圆越扁,e0,椭圆越趋近于圆.,.,【变形公式】,5、准线方程,右准线的方程是,左准线的方程是,如图所示:,x,y,o,x,y,o,6、椭圆第二定义平面内到定点F(C,0)距离与到定直线L:的距离之比为 的点的轨迹是椭圆。,F,d,M,M,(2)任何椭圆上的点到其焦点和对应准线距离之比一定是其离心率。,注：(1)平面内动点到定点与定直线距离之比为定值的轨

12、迹一定是椭圆。但不一定是标准方程形式，要化简求得。,图象,方程,性 质,范围,顶点,离心率,对称性,xa,yb,关于x轴、y轴、,都对称,a,0,0,b,ya,xb,坐标原点,关于x轴、y轴、,都对称,坐标原点,0,a,b,0,ab0,ab0,e=,e=,准线,知识总结,例1.求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.,例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点P(3,0)、Q(0,2);(2)长轴的长等于20，离心率等于0.6,例题讲解,例3.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:的距离之比是常数，求点M的轨迹方程。,第三节 直线与

13、椭圆的位置关系,一、椭圆中常见的量：,1、离心率：,2、焦半径：,设,左焦半径：,右焦半径：,3、通径：,4、焦点三角形MF1F2面积：,1.椭圆 上有一点M,（1）若MF1与MF2垂直，求三角形MF1F2面积及对应的两条焦半径长。,（2）若角F1MF2为600，求三角形MF1F2面积及点M坐标。,（3）若点P(2,-1),求|MP|+|MF2|的最小值及此时点M坐标。,x,o,F2,M(x0,y0),F1,y,2.正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，求椭圆离心率。,x,o,F,B,A,y,D,E,C,3.椭圆中心在原点，F是左焦点，直线A

14、C与BF交于D，且BDC=900，求椭圆的离心率。,x,o,F,C,A,B,y,D,4.椭圆 上有一点P，PF1与x轴垂直,x,o,F2,F1,P,Q,A,B,(1)若PF2/AB,求e；,(2)若PO/AB,求e。,y,x,o,F2,F1,P,Q,A,B,y,5.以椭圆 的右焦点F为圆心,FO为半径作圆与椭圆的一个交点为M,且|MF|=|MO|，求e.,x,o,F,F1,A,M,y,6.椭圆 的焦点三角形MF1F2中，两底角分别为150和750，求e.,x,o,F2,F1,M,y,规律：焦点三角形两底角为，则,7.椭圆 上一点M，F1，F2为两焦点,(1)求证：M为短轴顶点B时，最大；,(2

15、)若存在一点M，使，求离心率e的范围。,x,o,F2,F1,M,y,规律：存在一点M使则,8.椭圆 F1（-c,0)，F2(c,0)为两焦点，若椭圆上存在一个点P，使 成立，求e范围。,x,o,F2,F1,P,y,9.椭圆 F1（-c,0)，F2(c,0)为两焦点，在直线 存在一个点P，使线段 PF1中垂线经过点F2，求e范围。,x,o,F2,F1,P,y,二、直线与椭圆的位置关系：,（一）直线与椭圆相切,1.若点P(x0,y0)与圆（1）若点P在圆内，满足什么条件？圆外？（2）若点P在圆上，过P的切线方程是什么？（3）若点P在圆外，直线l:与圆的位置关系？点P在圆内呢？,2.若点P(x0,y

16、0)与椭圆（1）若点P在椭圆内，满足什么条件？椭圆外？（2）若点P在圆上，过P的切线方程是什么？,3.直线l:y=kx+1与椭圆C:总有交点，求m范围。,4.P为椭圆C:上一点，求点P到直线3x-2y-16=0的最值。,5.求以(-2,0),(2,0)为焦点，且与直线x+y-4=0相切的椭圆方程。,（二）直线与椭圆相交,1.过椭圆 的左焦点作倾斜角为60的弦AB，求AB弦长。,2.已知椭圆 被直线l截的弦的中点为()，求直线l的方程。,4.已知椭圆4x2y21及直线yxm.（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求弦长的最值。,5.椭圆中心在原点，焦点在x轴上，直线y=x+1与

17、椭圆交于两点P,Q,且 求椭圆方程。,x,o,P,Q,y,6.直线l:y=x-1与椭圆C:交于A，B,以AB为直径的圆过椭圆左焦点F,求m。,1.椭圆一个顶点A(0,-1),焦点在x轴上，其右焦点到直线 距离为3,(1)求椭圆方程；,(2)若椭圆与直线y=kx+m(k不为0）交于不同两点M,N且|AM|=|AN|,求m范围。,（三）综合应用,2.椭圆C:,(1)若椭圆与斜率为2的直线交于A,B，求AB中点M的轨迹方程；,(2)若椭圆与过定点P(0,2)的直线交于A,B，求AB中点M的轨迹方程；,(4)若椭圆存在两点关于直线l:y=2x+b对称，求b范围；,(5)若椭圆存在两点关于直线l:y=k

18、x+1对称，求k范围.,(3)若椭圆与过定点P(0,2)的直线交于A,B，求t=|PA|:|PB|的范围；,x,o,A,B,y,P(1,1/2),解(1)（法一）：显然l斜率存在，设l：y-1/2=k(x-1)即y=kx-k+1/2代入椭圆方程x2+4y2=4得(4k2+1)x2+4k(1-2k)x+4(1/2-k)2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2即-4k(1-2k)/(4k2+1)=2,Delta0即3k2+k+3/40恒成立,（事实上，点P在椭圆内,直线与椭圆恒相交）,K=-1/2,所以l:y=(-1/2)x+1,（法二）：,设A(x1,y1),B(x2,

19、y2),x12+4y12=4,x22+4y22=4,点差得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0即2+4k=0,K=-1/2,所以l:y=(-1/2)x+1,代入方程由弦长公式得到弦长。,3.椭圆C中心在原点，交点在x轴上,过点P(1,0)的直线L与椭圆交于A，B，直线y=x/2,过AB中点，同时，椭圆上存在一点N与右焦点F关于L,对称，求L及椭圆C.,x,o,A,B,y,F,N,4.长轴为4的椭圆上有A,B,C三点，A为长轴一端点，BC过椭圆中心O，且AC.BC=0，|BC|=2|AC|(1)建立适当坐标系，求椭圆方程；(2)如果椭圆上有两点P,Q，使角PCQ的平分

20、线垂直于AO,证明：PQ=tAB,x,o,A,B,y,C,P,Q,解:(1)方程：x2+3y2=4,(2),解：若斜率不存在，CP，CQ重合，故两直线都有斜率，令,x,o,A,B,y,C,P,Q,由,从这里就要解出 来,（呵呵。很多人已经没勇气再算下去了，解析几何在高考中很多时候就是考计算，这点不算什么）大家注意，硬解那当然就bt了，这方程中肯定有一解是1，因为直线是过了(1,1)的，呵呵，所以另一根用韦达定理求得。,呵呵，所以,呵呵，再算,可以再同样算，但是注意到就是先的,变-,就完了，所以,所以,正好是AB 的斜率，（因为B（-1，-1）,所以PQ=tAB,(2)过点 作直线L与椭圆x2+4y2=16相交,于A、B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线L倾斜角的正切值。,5.（1)椭圆x2+4y2=16上有两点A,B，若OA,OB斜率之,x,o,A,B,y,P,积为-1/4,求|OA|2+|OB|2；,，要求的是,，又,所以从方程中换掉,后就得到所求的是,那么我们把条件一用就该得到,（这是解析几何一个大思路，题目给你什么你用什么，叫你求什么你算什么，并且注意点是椭圆上的点进而利用方程减少变量。）,（为何要平方，就是为了能用椭圆方程来消元）将,代入有,化一下就有,，故答案为20,这个东西。,解:(1),