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1、第二章 圆锥曲线与方程,问:解析几何要解决的两类基本问题是什么?,答:(1)已知曲线研究其方程;(2)已知曲线方程研究其曲线的性质.,回顾圆的定义及标准方程的学习过程及求法:,1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,2、求轨迹方程的基本步骤：（1）建立适当的坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合(可以省略);（3）将条件P（M）坐标化，列出方程;（4）对方程化简；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，应当适当予以说明).,设想：平面内与两定点的距离的和等于定长的点的轨迹是什么呢？,返回求方程,返回
2、解例2,2.1 椭圆定义及标准方程,仙女座星系,星系中的椭圆,-“传说中的”飞碟,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。,问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是;问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是.,线段F1F2,不存在,一、椭圆定义：,二、椭圆的标准方程：,设M(x,y)是椭圆上任一点，,由定义知：,如图建立直角坐标系,椭圆的焦距为2c(c0)，则F1(-c,0)、F2(c,0)，M与F1、F2的距离的和等于常数2a。,分析：,（2）如何建系，使得椭圆的 方程较简单？,
3、（1）求椭圆的方 程出发点？,（定义）,回顾求轨迹方程步骤,将方程移项后平方得：,两边再平方得：,由椭圆定义知：,这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中 c2=a2-b2.,如果用类似的方法，建系时让椭圆的焦点在y轴上，可得出它的方程为：,它也是椭圆的标准方程。,两边同除以 得：,二、椭圆的标准方程：,*两种椭圆图形的异同点:,两种椭圆相对于坐标系的位置不 同，它们的焦点坐标也不同x、y下的分母大小不同。,同:,异：,形状相同,大小相同，a,c几何意义相同，并且：,其中a最大,b,c大小无法确定。,椭圆的标准方程的再认识：,（1）
4、椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1,（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=c2+b2。,（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上，（a总是最大）或看焦点坐标来决定a、b。,二、椭圆的标准方程：,1：判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标。,答：在 x 轴，,答：在 y 轴。,答：在y 轴。,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。,课堂练习：,a2=25,b2=16;,（3，0）.,a2=169,b2=144;,（0，5）,a2=m
5、2-1,b2=m2;,（0，1）,2 椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）A.5 B.6 C.4 D.10,A,3.已知椭圆的方程为，焦点在X轴上，则其焦距为（）A 2 B 2C 2 D 2,A,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 _.,跳到注,小结：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:椭圆的定义中a、b、c皆正，a2=b2+c2,其中2c是 椭圆焦距；要注意特征量a、b、c的几何意义,它们确定椭圆的形状.焦点的位置由椭圆的标准方程中x2,y2的分母大小 或焦点坐标来决定；求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确 定代入哪个方程解题.,作业:1、课P33练
6、习1、2 P39习题1。2、世纪金榜P18-19 基础达标1、3、4 3、补充：若 表示椭圆，求k的取值范围,再见！,注：1.标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。,3.由椭圆的定义和标准方程可知：确定椭圆的标准方程需要三个条件：焦点位置、a、b的值。,2.焦点F1、F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆焦点在坐标系里的位置和标准方程的类型，也就是说，知道了焦点的位置，标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型。反过来，只要知道方程的形式，就可以判定焦点位置。,一般先定位后定形！,例 求适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标分别是、,椭圆
7、上一点到两焦点距离的和等于10,小结,两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,-2),并且经过,解法1,解法2,求焦点在坐标轴上，且经过A（,-2)和B（，1）两点的椭圆的标准方程。,分析：由题设条件焦点在哪一个坐标轴上不明确，椭圆的标准方 程有两种情形，为了计算方便，可含糊地设其方程为 mx2+ny2=1(m、n0且mn),其中m、n的大小先不做确定，即先不考虑焦点位置，根据已知所给条件求出m、n值后 再行判断其焦点位置。,：求焦点在坐标轴上，且经过A（,-2)和B（，1）两点的椭圆的标准方程。,解：设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m、n0)因为椭圆过点A（,-2)和B（，1），故得 3m+
8、4n=1与12m+n=1 所以，所以，椭圆的方程为,反思：在不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常要进行分类讨论，但计算较 为复杂。一般可先设其方程为mx2+ny2=1(m、n0且mn)，只是此时m、n 的大小还未确 定，用已知的条件来求出其值即可确定X、Y型。所以像这种求椭圆方程先假设其方程,然后根据题目条件得出所求方程的方法,我们称之为待定系数法。,：求焦点在坐标轴上，且经过A（,-2)和B（，1）两点的椭圆的标准方程。,定 义,图 形,标准方程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0),椭圆的标准方程,焦距为2c,焦距为
9、2c,1、椭圆 的焦距为,所表示的曲线是,2、,3、已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则 m的取值范围是,4、已知椭圆 上一点P到其中一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离是,5、已知F1，F2是椭圆 的两焦点，过F2的直线交椭圆于点A，B，若，则,右半个X型椭圆,（8,25）,7,11,练习：,例2、已知点P是椭圆4y2+5x2=20上的一点，F1与F2是焦点，且 F1PF2=600，求 F1F2P的周长与面积。,回顾求轨迹方程步骤,例3：已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点 B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨 迹方程,圆P与圆A内切，圆A的半径为10两圆的圆心
10、距PA10r，,2a10，2cAB6，a5，c3b2a2c225916即点P的轨迹方程为 1,解：设PBr,即PAPB10,点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆,(大于AB),练习：已知 B、C 是两个定点，|BC|=6，且ABC的 周长等于16，求顶点A的轨迹方程.,x,y,O,解：,建系如图，,由题意,|AB|+|AC|+|BC|=16，,|BC|=6，,有|AB|+|AC|=10，,由椭圆的定义知：点A的轨迹是椭圆，,2c=6,2a=10，,c=3，a=5，,b2=a2-c2=52-32=16.,故顶点A的轨迹方程是：,(y0),小结：1、先定位后定量；2、设方程技巧：焦点位置不确定时，
11、不妨设其标准方程为mx2+ny2=1(m、n0且mn)3、设方程技巧：与有相同焦点的椭圆方程不妨设为4、求动点的轨迹方程时：若无法判断曲线类型：用求曲线方程一般步骤;若可由定义法判断出曲线类型：可直接套用现成结论。求出曲线的方程之后，要验证方程是否有增根，如有，应在方程后注明限制条件。,椭圆过点A(2,3)，且与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点。求该椭圆的标准方程,补充作业：若 表示椭圆，求k的取值范围,平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离 的和是10的点的轨迹方程,在平面直角坐标系中，已知ABC中B(-3,0)，C(3,0),且三边|AC|,|BC|,|AB|长依次成等差数列，求顶点A的 轨迹方程。,练习：在平面直角坐标系中，已知三角形 中 B(-3,0)，C(3,0),且三边|AC|,|BC|,|AB|长依 次成等差数列，求顶点A的轨迹方程。,分析：因为B（-3，0），C（3，0）所以|BC|=6,又三边|AC|,|BC|,|AB|长依次成等差数列,解：（根据例题同理可知）A点的轨迹方程是,因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知：,所以所求椭圆的标准方程为：,解：,返回,解:设所求的标准方程为,依题意得,解得:,所以所求椭圆的标准方程为:,返回,
