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1、w (-K v 0时，最大值点由坐标原点左移w。如下图。3、正弦量的有效值f (t)一任意周期函数F =；：1，Tf 2(t)dt 一方均根值0可见，周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值取平方根。因 此，有效值又称为方均根值。当周期量为正弦量时，将f (t) = F cos(t +w)代人上式得F = x：1 j T F cos（ t + 中）2dt = F 2 j T cos 2（3 t + 中）dt T 0 mi* T m 0i其中jT cos 231 + 9 ）dt = jT1 + cos 2（3 + *dt = 0i022所以F0.707只适用于正弦量这样正弦量的
2、数学表达式写为f (t) = V2fcos(o t +w)因此，正弦量的有效值可以代替最大值作为它的一个要素。对于正弦电流i=/mcos(以+?)的有效值为I=I A 2 =0.707/mm同理，正弦电压U=UmCOS(3t+0u)的有效值为U = Um /V2 =0.707Um在工程上，一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。例如交流测量仪表所指示 的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值。我国所使用的单相正弦电源的电压 U=220V,就是正弦电压的有效值，它的最大值Um=J2 U=1.414x220=311Vo应当指出，并非在一切场合都用有效值来表征正弦量的大小。例如，在确定各种
3、交流电 气设备的耐压值时，就应按电压的最大值来考虑。4、两个同频率正弦量的相位差中设 u(t) = U cos( t +W )i(t) =、cos(t +W,)则u(t)与/(t)的相位差中=0t+wu) wt+K) =wu w,可见，对两个同频率的正弦量来说，相位差在任何瞬时都是一个常数，即等于它们的初 相之差，而与时间无关。0的单位为rad(弧度)或。(度)。主值范围为|0|尔。如果0=气-%0 (如下图所示)，则称电压u的相位超前电流/的相位一个角度度0， 简称电压u超前电流/角度0，意指在波形图中，由坐标原点向右看，电压u先到达其第一 个正的最大值，经过0，电流/到达其第一个正的最大值
4、。反过来也可以说电流/滞后电压 u角度0。如果0=Wu-W0,-取一兀，W0,-取+兀。3. 当两个同频率正弦量的计时起点即波形图中的坐标原点改变时，它们的初相也跟着改变，但它们的相位差却保持不变。所以两个同频率正弦量的相位差与计时起点的选择无关。5、相量：令正弦量f (t) = Fmcos(wt +W) = 2F cos(wt +W)，根据欧拉公式，可知ejx = cos x + jsin x，取 x = w t +W贝| ej(wt +v) = cos(wt +W) + jsin(wt +W)cos(wt +w) = Re e j(wt +v)sin(wt + w) = Im ej (wt
5、 +v)于是 f (t) = F Ree j(wt +w)=ReF ej(wt +w)=ReF ejw ejw= ReF e网m1 1mL mm - -F = F ejv = F Zw 最大值相量。可以表示一个正弦量的复值常数称为相量。u(t) = 220 专2cos(314t + 30 )V o U = 220*2/30 VooF = F Zw 有效值相量Fm = 2 F上述表明，可以通过数学的方法：把一个实数域的正弦时间函数与一个复数域的复指数 函数一一对应起来，而复指数函数的复常数部分是用正弦量的有效值(最大值)和初相结合 成一个复数表示出来的。运用相量进行正弦稳态电路的分析和计算，可同
6、时将正弦量(最大 值)的有效值和初相计算出来。有效值(最大值)上方加的小圆点是用来与普通复数相区别 的记号，在数学运算上与一般复数的运算并无区别。相量既然是复数，它也可以在复平面上用一条有向线段表示。如下图所示为正弦电流，=山Icos (st+Wj的相量，其中0。相量I的长度是正弦电流的有效值I，相量I与正实 轴的夹角是正弦电流的初相。这种表示相量的图称为相量图。为了简化起见，相量图中不画 出虚轴，而实轴改画为水平的虚线，如下图所示。一，+16、旋转因子e卬复指数函数的另一部分ej.t，是一个随时间变化的旋转因子，它在复平面上是一个以原点为 中心、以角速度s等速旋转、模为l的复数。ejwt =
7、 1/( t) = cos皿 + jsin 皿取 t = y , e j2 = j ；取 t = -y , ej(-2) = - j ；于是 j, - 1 一旋转因子。7、正弦量为旋转相量在实轴上的投影相量(F =fejp)乘以旋转因子弘再乘以J2，即很F弘，所以将它称为旋转相量，L、1/jC 替代，得到对应的相量电路。在选定的电压、电流的参考方向下，写HKCL和KVL方程的相 量形式，再将元件伏安关系的相量形式代入，便得到一组以待求量电压或电流）的相量为未 知量的复数代数方程组。解此方程组就可求得待求正弦电压或电流的相量，最后根据相量与 正弦时间函数的对应关系，写出待求量在时域中的瞬时值表达
8、式。这种方法就是求解正弦电 流电路的相量法。（二）本章难点和学习方法指导1、相量图画法。2、有效值不满足基尔霍夫定律三、典型例题分析1.已知电路ab的正弦电流振幅为10A,频率为50HZ,当电流的参考方向由a到b时，初相角为 30。试写出电流的解析式，画出波形图，并求t=0.002s时的瞬时值；如电流的参考方 向改为由b到a,写出电流的解析式，画出波形图，并求出t=0.002s时的瞬时值。解： 一I-srn t当 t=0.0O2s 时10sin314t 30 Ai t 10sin314 0.002 57.3 30 A10sin66 9.14Ait10sin314t 3015010sin314t
9、 30 18010sin314t 150 A当 t=0.002s 时i t 10sin314 0.002 57.3 15010sin 1149.14A2设有两个同频率的正弦电流i t 10sin t 60 A,i tA,问哪一个电流超前，超前电流是多少？25sin t 150解：6015021012360 210150if210 150i超前150360 3图中正弦电流为it 141.4sin t 30 A,正弦电压为u t 311.1sin t 60 V 试用相量表示电流、电压并作相量图。o-i + u-解 U 311.16022060 V2100 30 A30141.4如果I I =-1
10、= 100 Z-150。A1U =-U = 220Z120 OVi4 已知 i (t)= 70.A-;2sin (o t + 45。)A i (t)= 42. 2sin S t -30。)A 求 之和。1i1 (t)、i (t)2解1广 70.7 /45。A12 = 42.4/ - 30。AI = I1 +12 = 70.7 /45o + 42.4/ - 30。二 50 + j50 + 36.7 - j 21.2=86.7 + j 28.8 = 91.4Z18.4O Ai (t) = 91.4/2 sin (o t +18.4。) AI1 -12 二 I1 +(-12)5 一个0.8H的电感元
11、件接到电压为u(t)=220t2sin(314)-120。)的电源上,(1)试求电感元件的电流表达式和无功功率；(2)如电源的频改为150HZ,电压有效值不变，电感元 件的电流和无功功率各为多少？解(1)电压相量为U = 220/-120。感抗为Xl= 3L=314X0.8=251QU220Z-120OI = = = 0.876/-120。= 0.876Z150O AjXLj 251i (t )= 0.876-2sin (314t +150。) AQ = UI = 220 x 0.876 = 192.7 var(2)Xl1=3XlAI1= I/3 = 0.876/3 = 0.292AQj Q/
12、3 = 192.7/3 = 64.2var6已知加在2uF电容两端的电压为10V，初相为60 ,角频率为106rad/s。试求通过电容 的电流，写出其瞬时值解析式并画出相量图。+ -Ut TXC解U = 10/60 VX = =1= 0.5。C C 106 X 2 X10-6I = j U = j x 10/60。Xc0.5 = 20/60。+ 90。= 20/150。Ai = 20 侦2sin (106t + 150)A四、思考题、习题及习题解答(一) 思考题、习题及答案1. 将下列各正弦量表示成有效值相量，并绘出相量图。 i1 (t) = 2sin(s t - 27。) A，i2 (t)
13、= 3sin s t + A；(2) u1(t) = 100sin 3141 +V, u2(t) = 250sin3141 V。2. 写出对应于下列各有效值相量的正弦时间函数式，并绘出相量图。(1) I1 = 10/72。A，I2 = 5/-150。A，I3 .(2) U1 = 200/120。V，U2 = 300/0。V，=7.07/0。A；U3 = 250/- 60。V。3. 试求下列各组同频率电流之和其中(1)、(2)用相量表示，用时间函数式表示。(1)(2)I1 = 5/17。A，I2 = 7/- 42。A；I = 4/125。A，I2 = 2.5/- 55。A；(t) = 1.4 s
14、in3141-五k 2 JA，( K i2(t) = 2.3sin3141 + ;A。10.5/-17.9。A，1.5/125 A，2.01sin(314t-7.16)A 4. 题4图为某个网络的一部分，试求电感电压相量U。L(19.026/-87。V )5. 在题5图所示电路中，若电流i (t)=1sin314t A，试求电压uR(t)、uL(t)、uC(t)和u(t)，并绘出波形图和相量图。题4图(100sin314tV，31.4sin(314t+90)V，318sin(314t-90)V，303.5sin(314t-70.8o)V)6. 在题6图所示电路中，电容端电压相量为100/0 V
15、。试求U和I，并绘出相量图。(0.834Z36.90 A, 83.4Z53.10 V)题5图题6图补充：教材的课后习题。（二）习题解答参见配套的习题解答书。第九章正弦稳态电路的分析一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心正弦稳态电路的分析及功率分析。（二）本章重点阻抗和导纳。相量图。正弦稳态电路的分析。功率分析。（三）本章前后联系第八章（相量法）是本章基础。本章是互感电路、三相电路正弦稳态求解的基础。本章 也是谐波分析法分析非正弦周期电流电路的必用内容。二、本章的基本概念、难点和学习方法指导（一）本章的基本概念1、阻抗和导纳：串并联、分压、分流、容性、感性。2、相量图：取适当的参考相量，
16、根据元件的电压电流关系逐步画出电路的相量图。3、正弦稳态电路的分析：引入相量法后，无源元件的参数统一用阻抗表示，可将电阻 电路的计算方法用于正弦稳态计算。4、功率分析：有功、无功的物理意义，有功、无功、视在功率、复功率的计算。功率 因数的概念和意义。最大功率传输问题。（二）本章难点和学习方法指导1、应用相量图分析正弦稳态电路。2、有功、无功的物理意义。三、典型例题分析例 1：已知：） = 40克cos3000t V，求：i（t）, i （t）, i （t）SL C1kQ1/3H1* 1.5kQ1kQ+/ L,)_ S3 j1k QI1C-j2kQ解：将电路转化为相量模型Z L = jo L =
17、 j3000X 3 = jlkQZ =- j1= - j2kQC13000 x X10-667(1-2j) Lz 2 + jl (2 + j1)(1+ jl)2Z =+1.5 =+ 1.5 =+1.5 = 2 + 1.5K&2 = 25匕369 k eq (1- j2) + j1 1 - j12Z =eq (1- j2) + j1(1 2jj1 +1.5 = 2j1 +1.5 = (2 + j1)(1+j1) +1.5 = 2 + j1.5kQ = 2.5/36.9 kQ 1 - j1.I =也=40/0 .Z2.5/36.9=16Z- 36.9 mAIc =jI = - I = x 16/-
18、36.9.C (1- j2) + j1. 1-j1. /2 = 100Z - 45 V解相量图法:-U LI l =葺-IR =办U R = U L = X LIL =100t2va =tg-1 |l = 45R由电压三角形U = URcosa = 100V例4：已知：X廉 |XJ, X麋v |Xc3|,定性作出相量图M1!解：1.取11为参考相量，并设各元件的电压与电流为关联参考方向。2. 作 UR13. 作 U L1.4. 作 U C1V.X5. 作L2 = U R1 + U L1 + U C1 6. 作 127. 作 13 = 11 + 12 8. 作UR39. 作 U T3L310.
19、作 UC33 .11. 作 U = U l2 + U R3 + U L3 + U C3例5:在f =50Hz, U = 380V的交流电源上，接有一感性负载，其消耗的平均功率p = 20kW，其功率因数cosy 0.6。求：线路电流。若在感性负载两端并联一组电容器，其等值电容为374 F，求线路电流I及总功率因数cos甲。I感性负载jXL解:I = P1 U cos甲380 X 0.62000L = 87.72A令U = 380Z0 V，则 I = 87.72Z- 53.1 A IC = jCU = j2兀 X50X374x10-6 x380Z0 = j44.6A oI = I +1C = 5
20、8.5Z- 25.8 A，则 I = 58.5A，cosp = cos25.8 = 0.9并联电容的作用：减小电流，提高功率因数偿到1电路没有必要将 cos 9 补情况3：1I = I sin 9 -1 sin 9 = P sin 9C 11P= (tg9 - tg9)=必 CUU cos9 U cos 9 U 1 例 6：已知：Z = 2 + j2。，I r =5A, k=3A, IC = 8A，且总平均功率 P = 200W , 求U=?I1 LjXL解：设：IR =5/0 A，则：Il = 3Z-90 A, IC = 8/90 A1 =I r + / l+/ c =52/45aP = R
21、e z /2 + RI2RP - Re Z /2n R = 4。U = Z -1 + R -1R = (2 + j2)5j2/45 + 4 x 5/0 = 20 + j20V = 20/2/45 V ooo则 U = 20f2v例7：已知:U = 100V, P = 86.6W, I = I = 12，求R, XL，XCI2(U )解：分析作出电路的相量图，可见电流相量图为等腰三角形。I = = = 1AU cos 甲U cos(30 )则 I = I = I = 1AX = u =10ScI2R = p = 86.6。Ii2XI =(U)2 _ R2 = 50。例 8：已知：u (t) =1
22、0巨COS103tV，求：i (t), i (t)。SJ 3QHb500uF+Ous(t)4mH解：首先画出时域电路对应的相量模型(3 + j4) Ia - (j4) Ib = Us = 10ZO-j4I：+ (j4 - j2) Ib = -2 11 11 = I a, 1=1.24/29.74 A2.77/56.31 A3+j4 102 - j4 0 _ -20 + j40_ 44.72/116.57Ihb 8 + j148 + j14=2.77/56.31 A 16.12/60.26。11 = Ia = 1.24/29.74 A即 i (t) = 1.24(2cos(101 + 29.74
23、 )A112 = 1 b = 2.77/56.31 A即 i (t) = 2.77*2cos(1Ot + 56.31 )A 2例9：相量模型如图，试列出节点电压相量方程_/YYY j10Q-j5Q1/0 A5Q_-j10Qn I。j5Q日Q-j0.5A解： (L + 上 + + 上)U - ( + 上)U =1/05 -j10 j10 -j5 .n1 j10 -j5 .n2o-(+ ) U + (L + + + ) U = - (- j0.5) j10 -j5 .n1 10 j5 -j5 j10 .n2rv(0.2 + j0.2)U n1 - j0.1U n2 = 1-j0.1U n1+(0.
24、1- j0.1)U n2 = j0.5例10：求108。+20/0 vO-j4。j6。分析：求中间桥臂电流用戴维南定理最好解1.求U OC .U OC = ji6 x- (-j4)x 2 = ji /=2/- 36.9 A,20/020/0I =-：=-8 + |(j16 - j4)8 +j6U oC = j10 x 2/- 39.6 = 20/53.1 V平衡条件：ZZ = ZZ Z = Z |/甲 1 42 3R R R|Z|Z|/W+中)=|Z|Z |/( +中)ill 41142“ 3123JI ZJ lZJ=lZ JIZ 3I)9 +9 =9 +91423取一组相邻桥臂为电阻，Z =
25、 R，Z = R，则9 =9113342即另一组相邻桥臂阻抗性质要相同。取一组相对桥臂为电阻，Z= R, Z4 = R4,贝g 92 +93 = 0 n 92 =-93，即另一组相对桥臂的阻抗性质要相异。2.求 I sc：I sc1SC-j4Qj16-j4=11T2 =1 * j16-j4 j16-j41 = 3120/O240Z90亦 人rz-r7r-r- = = 1.5 匕 53.1 A8 + 2 j16 x。(-j4)160Z36.9 j16 - j4ISC = 2.5Z53.1 A3.求z eqZeq1 SCE】=娘 2.5/53.14. I020/53.1 =2/16.2 AZ +
26、j6 10/36.9+U ocO20Z53.1 V四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题教材的课后习题。（二）习题解答参见配套的习题解答书。第十章 含有耦合电感的电路一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心互感电路的计算和功率分析。（二）本章重点互感。耦合电感电路的计算。耦合电感的功率。理想变压器的应用。（三）本章前后联系本章内容相对独立，新学了互感的概念。互感电路的分析主要考虑了正弦稳态情况，应 用的方法是相量法。二、本章的基本概念、难点和学习方法指导（一）本章的基本概念1、互感、耦合系数、同名端：两线圈之间有磁耦合，当周围空间是各向同性的线性磁 介质时，互感系数表示互感磁通链与施感电流的数值关系;耦合系数表示磁耦合的紧密程度； 引入同名端的概念就可以简化互感电路的画法，不再需要画出两耦合电感的绕向和相对位置， 可以用同名端表示互感电压极性与施感电流的关系。2、互感电路的计算：首先明确互感电路电压的时域表达式，然后在正弦稳态的情况下 能够用相量法分析互感电路。3、耦合电感的功率：正弦稳态情况下可以用相量法、复功率的概念计算互感电路的功 率。4、空心变压器：空
