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1、倒立摆状态反馈系统的建模及matlab仿真课题名称：倒立摆状态反馈系统的建模及mat lab仿真学生姓名：直凯学 号：2011330380229班级：电气工程及其自动化2班指导老师：高金凤2 0 13年12月2 0日倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行 控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的 研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问 题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用 来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能 力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域 中都有着广泛的用途，
2、如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中 的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。一、倒立摆系统的建模1.系统的物理模型如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M，摆杆的质量 为m，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角（即摆杆与翌直线的夹角） 为。，作用在小车上的水平控制力为f。这样，整个倒立摆系统就受 到重力，水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。图a 一级倒立摆物理模型图b摆杆隔离受力图2.系统的数学模型在系统数学模型中，本文首先假设:(1) 摆杆为刚体;(2) 忽略摆杆与支点之间的摩擦;(3) 忽略小车与导轨之间的摩擦。然后根据牛顿第二运动定律，求得系统的运动方程为:(1)
3、2 xd 2(4 +1 sin 9 ) M+ m= fdt 2dt 2ml cos9 +d 2 (x +1 sin 9)dt 2=mgl sin 9(2)方程(1)，(2)是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直 立，在施加合适的外力条件下，假定0很小，接近于零是合理的。则 sin 9部，cose. 1.在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得到倒 立摆系统的数学模型如下：(M + m) &+ m19&= f(3)ml 2(&+ m1&= mg19(4)3.系统的状态方程以摆角。，角速度。，小车的位移x ,速度x为状态变量,输出为y。 即令：91x2x3x49y x 11yx2=2yx33y
4、xy =41-4-1则一级倒立摆系统的状态方程为:M + m1mg 1 x =gx -f ； & = x ； X = x + f。2M11 M 344 M 1 M即_ 0100 -0 一M + mM g1000-X -11， ，M10m001XX3X0177 g L M0004L M _- L10 0 0+ 0 xf0 10 0 y =0 0 100 0 0 1二、控制器设计及matlab仿真1. 极点配置状态反馈的基本原理单级倒立摆系统是一个不稳定的连续系统，当倒立摆出现偏角后， 若不给小车施加控制力，倒立摆会向左或向右倾倒。所以本文采用极 点配置法设计控制器的目的都是通过调节水平力的大小来
5、控制小车 的运动，使倒立摆处于平衡位置。极点配置的方法就是通过一个适当的状态反馈增益矩阵的状态 反馈方法,将闭环系统的极点配置到任意期望的位置。考虑控制系统:& = Ax+Bu（5）其中x是状态向量（n维向量），u是控制信号（纯量），选取控 制信号为：u = - Kx（6）这样控制信号是由瞬时状态确定，此方法称为极点配置状态反馈 法。图2为具有u = -Kx的闭环控制系统。x图2状态反馈闭环控制系统将式代入式(5)得：&(t)=(A-BK)x(t),该方程的解为：x (t ) = e(A-bkM (0 )式中x(0)是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应和瞬态响 应特性由矩阵A-BK的特征决
6、定。如果矩阵K选取适当，则可使矩阵 A-BK构成1个渐近稳定矩阵,并且对所有的x(0人0 ,当t趋于无穷 时,都可使x(t)趋于0。称矩阵A-BK的特征值为调节器极点。如果这 些调节器极点均位于S的左半平面内，则当t趋于无穷时，x(t)趋于0。 将闭环极点配置到所期望的位置，称为极点配置问题。因而极点配置 状态反馈控制器的设计最主要就是K值的计算。2. 极点配置状态反馈控制器的设计一级倒立摆系统是一个不稳定的系统。控制器的目的是使倒立摆 系统动态稳定，即保持倒立摆在垂直的位置，使小车在外力作用下其 位移以较小的误差跟随输入的变化。由于系统的动态响应主要是由他 的极点位置决定的，同时容易证明一级
7、倒立摆系统是一个能控而且能观的系统。因此本文通过极点配置状态反馈控制器来使系统保持稳定。状态反馈控制方程为：f = -Kx = -k K K K x，闭环系统的 方程为：改=Ax + Bf =(A-BK)x。选取所期望的闭环极点位置： 1, U 2,时，U 4O根据如下matlab程序可求得状态反馈增益K (假设小车的质量 为3 kg，摆杆的质量为0. 1 kg，摆杆的长度为0. 5 m)，程序如下：M = 3 ； m = 0.1 ； l = 0.5； g =9.81；A21 = (M + m) / M/ l*g；A41 = - m/ M*g ；B21 = - 1/ M/ l ；B41 = 1
8、/ M ；A =0100；A21000；0001；A41000 ；B =0；B21；0；B41；C =1000；0100；0010；0001；D =0；M = B A*B A2*B A3*B ；J = u10 0 0 ； 0 u2 0 0 ； 0 0 u3 0 ； 0 0 0 u4；jj = poly (J )；Phi = polyvalm (poly (J ) ,A)；K = 0 0 0 1 *(inv (M) )* Phi ；求得：A = 0 1 0 0； 20.4048 0 0 0； 0 0 0 1 ； - 0.3924 0 0 0 B= 0 ； - 0.6667 ； 0 ； 0.333
9、3C = 1 0 0 0 ； 0 1 0 0 ； 0 0 1 0 ； 0 0 0 1 D = 03. MATLAB 仿真MATLAB软件是目前国际上最流行、应用最广泛的科学与工程计 算软件，具有高级的数学分析和运算能力，可以如上编写MATLAB程序 计算倒立摆系统的状态反馈增益K ;同时还具有强大的动态系统的分 析和仿真能力。以下是用MATLAB软件中Simulink工具箱来设计仿真 一级倒立摆系统。应用MATLAB中的Simulink设计用极点配置控制的一级倒立摆系 统的仿真模型如图3所示。图中State - Space模块填入了上面程序 计算所得的A , B , C , D值。然后用1个B
10、us Selecto r输出转角、 角速度、位移和速度4个量,之后用4个Gain(分别输出参数K ( 1) K(2) K ( 3) K ( 4)和1个Sum构成状态反馈，同时用示波器输出 转角、角速度、位移和速度4个量。输出结果如图4所示。图3用极点配置控制的一级倒立摆系统的仿真模型上述状态反馈可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡状态， 即所有的状态变量都可以稳定在零状态。这就意味着即使在初始状态 或因存在外界干扰时，摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置导轨中心， 依靠该状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立，并使小车保持在基准位 置。相对平衡状态的偏移,得到迅速修正的程度要依赖于指定的特征 根的位置。
11、般来说，将指定的特征根配置在原点的左侧，离原点越远，控制动作就越迅速，但相应地需要更大的控制力和快速的灵敏度。图4a和图4b分别是配置极点为：u1 = - 2 - j矿3 , u2 = - 2+ j2 V3 , u3 = - 10 , u4 = - 10和 u1 = - 1- j V3 , u2 = - 1+ jVT , u3 = - 10 , v4 = - 10 （其中u1 ,u2是主导闭环极点）一级倒立摆系统的仿真结果图:图4aUUJ-0 02-0 04nn?0 02-0 02Tima offa-et Q-Q04 L 0图4b从图4a和图4b比较可知,配置极点离原点越远，虽然需要相对大 的
12、控制力，但是系统达到稳定的时间越短，即控制动作就越迅速，灵敏 度高。比较两图可知，配置极点为：u1 = - 2 - j2龙,u2 = - 2 + j2 VT, u3 = - 10 , u4 = - 10的仿真图,倒立摆系统的动静态性能较 好。系统大约在2 s内即可达到稳定，过渡过程时间较短，超调量也不 大，各控制量的大小都比较合理。三、总结和心得本文以倒立摆为研究对象，讨论了将极点配置在期望的区域内的 状态反馈控制方法。从仿真结果可以看出，该方法可以保证系统具有 一定的动态和稳态性能，不仅满足闭环系统的内部动态特性要求，也 兼顾了抑制外部扰动对系统的影响。由此可知，极点配置控制方法可 以实现摆
13、杆的倒立平衡控制。另外，熟悉了对MATLAB软件的操作参考文献1 曾志新，邹海明，李伟光等.倒立摆的建模及MATLAB仿真J.新技术新工艺，2005, 10: 16218.2 陶文华.单级旋转倒立摆的控制方法研究C . Proceedings of the 25 st Chinese Control Conference, 2006, 8: 6162619.3 刘卫国.MATLAB程序设计与应用M .北京：高等教育出版社， 2002.4 王枞.控制系统理论及应用.北京：北京邮电大学出版社，20055 谢克明.现代控制理论基础.北京：北京工业大学出版社，20006 固高科技（深圳）有限公司，中国科技大学.固高摆系统与自动 控制实验，2002.7 夏德黔.自动控制理论（第二版）.北京：机械工业出版社，20048 固高科技（深圳）有限公司.直线倒立摆安装与使用手册,20029 Katsuhiko Ogata著.卢伯英，于海勋等译.现代控制工程（第四 版）.北京：电子工业出版社，200310 Katsuhiko Ogata.Discrete-Time Control Systems （2nd ed.）.NJ:Prentice Hall,1955
