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1、不确定性原理在量子力学里，不确定性原理(uncertainty principle又译不确定原理、测不准原理)表 明，粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性上与动量的不确定性遵守不 等式工Ap 互/2.其中，L是约化普朗克常数维尔纳海森堡于1927年发表论文给出这原理的原本启发式论述，因此这原理又称为海森 堡不确定性原理”。12根据海森堡的表述，测量这动作不可避免的搅扰了被测量粒子的运 动状态，因此产生不确定性。同年稍后，厄尔肯纳德(Earl Kennard)给出另一种表述。3】隔 年，赫尔曼外尔也独立获得这结果句。按照肯纳德的表述，位置的不确定性与动量的不确定 性是粒子的秉性，它们共
2、同遵守某极限关系式，与测量动作无关。这样，对于不确定性原理， 有两种完全不同的表述。追根究柢，这两种表述等价，可以从其中任意一种表述推导出另 一种表述。可：1。长久以来，不确定性原理与另一种类似的物理效应(称为观察者效应)时常会被混淆在一起。 57观察者效应指出，对于系统的测量不可避免地会影响到这系统。为了解释量子不确定性， 海森堡的表述所援用的是量子层级的观察者效应。冏之后，物理学者渐渐发觉，肯纳德的表 述所涉及的不确定性原理是所有类波系统的内秉性质，它之所以会出现于量子力学完全是因 为量子物体的波粒二象性，它实际表现出量子系统的基础性质，而不是对于当今科技实验观 测能力的定量评估。9在这里
3、特别强调，测量不是只有实验观察者参与的过程，而是经典物 体与量子物体之间的相互作用，不论是否有任何观察者参与这过程。1。】注1类似的不确定性关系式也存在于能量和时间、角动量和角度等物理量之间。由于不确定性原 理是量子力学的重要结果，很多一般实验都时常会涉及到关于它的一些问题。有些实验会特 别检验这原理或类似的原理。例如，检验发生于超导系统或量子光学系统的“数字一相位不 确定性原理”。1213对于不确定性原理的相关研究可以用来发展引力波干涉仪所需要的低噪 声科技。历史编辑紧跟在汉斯克拉默斯(Hans Kramers)的开拓工作之后，1925年6月，维尔纳海森堡发 表论文运动与机械关系的量子理论重
4、新诠释(Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations)，创立了矩阵力学15。旧量子论渐渐式微，现代量 子力学正式开启。矩阵力学大胆地假设，关于运动的经典概念不适用于量子层级。在原子里 的电壬并不是运动于明确的轨道，而是模糊不清，无法观察到的轨域；其对于时间的傅里叶 变换只涉及从量子跃迁中观察到的离散频率。海森堡在论文里提出，只有在实验里能够观察到的物理量才具有物理意义，才可以用理论描 述其物理行为，其它都是无稽之谈。因此，他避开任何涉及粒子运动轨道的详细计算，例如， 粒子随着时间而改变的确
5、切运动位置。因为，这运动轨道是无法直接观察到的。替代地，他 专注于研究电子跃迁时，所发射的光的离散频率和强度。他计算出代表位置与动量的无限矩 阵。这些矩阵能够正确地预测电子跃迁所发射出光波的强度。同年6月，海森堡的上司马点斯玻恩，在阅读了海森堡交给他发表的论文后，发觉了位置 与动量无限矩阵有一个很显著的关系一T它们不互相对易。这关系称为正则对易关系，以方 程表示为f16：:r, p xp px 洗。在那时，物理学者还没能清楚地了解这重要的结果，他们无法给予合理的诠释。1926年，海森堡任聘为哥本哈根大学尼尔斯玻尔研究所的讲师，帮尼尔斯玻尔做研究。在 那里，海森堡表述出不确定性原理，从而为后来知
6、名为哥本哈根诠释奠定了的坚固的基础。 海森堡证明，对易关系可以推导出不确定性，或者，使用玻尔的术语，互补性17:不能同 时观测任意两个不对易的变量；更准确地知道其中一个变量，则必定更不准确地知道另外一 个变量。在他著名的1927年论文里，用海森堡写出以下公式AxAp 沮 ho这公式给出了任何位置测量所造成的最小无法避免的动量不确定值。虽然他提到，这公式可 以从对易关系导引出来，他并没有写出相关数学理论，也没有给予，和确切的定义。他只给出了几个案例(高斯波包)的合理估算。在海森堡的芝加哥讲义里，他又进一步 改善了这关系式：AxAp ho1927年厄尔肯纳德(Earl Kennard)首先证明了现
7、代不等式冏： 互/2；其中，圣是位置标准差，户是动量标准差，上是约化普朗点常数1929年，霍华德罗伯森(Howard Robertson)给出怎样从对易关系求出不确定关系式。观察者效应编辑不确定性原理时常会被这样解释：粒子位置的测量不可避免地搅扰了粒子的动量(这结论可 以从海森堡显微镜实验获得)，以方程表示，冏&11其中，是测量位置所出现的误差，;是动量被测量位置的动作所搅反之亦然，粒子动量的测量不可避免地搅扰了粒子的位置（这结论可以从多普勒速率表实验 获得），以方程表示，冏:11-12:， A1 土 .；其中，、-是测量动量所出现的误差， “ 是位置被测量动量的动作所搅扰才出现的误差。换句话
8、说，不确定性原理是一种观察者效应。这解释时常会被曲解，在概念上，似乎测量所 产生的搅扰是可以避免的，因为粒子的量子态可以同时拥有明确的位置和明确的动量，问题 是现今最先进实验仪器仍旧无法制备出这些量子态。但是，这概念并不正确，同时具有明确 位置与明确动量的量子态并不存在，不能归咎于实验仪器。根据量子测量理论，测量必定会 造成或大或小的搅扰，这观察者效应是无可避免的一可以更准确地测量位置，但动量必遭 遇更大的搅扰；可以更准确地测量动量，但位置必遭遇更大的搅扰。海森堡并没有专注于量子力学的数学表述，他主要的目标是在建立一种事实一不确定性是 宇宙的一种特性；任何实验绝对无法，超过量子力学所允许范围，
9、更准确地测量一个粒子 的位置和动量。在证明这事实时，海森堡的物理论点是以量子的存在为基础，而不是使用整 个量子力学形式论。海森堡这样做的主要原因是，在那时，量子力学尚未被学术界广泛的接受。不确定性原理是 个相当诧异的结果。许多物理学家认为，明确位置与明确动量的量子态的不存在，是量子力 学的一个瑕疵。海森堡试图表明这不是一个瑕疵，而是一个特色，宇宙的一个又深奥微妙， 又令人惊讶的特色。为了要达到这目的，他不能使用量子力学形式论，因为他要辩护的正是 量子力学形式论本身。海森堡显微镜实验编辑主条目：海森堡显微镜实验海森堡假想测量电子（蓝点）位置的伽马射线显微镜。波长为J的侦测伽马射线（以绿色表示），
10、被电子散 射后，进入孔径角为的显微镜。散射后的伽马射线以红色表示。在经典光学里，分辨电子位置的不确定为了解释不确定性原理，海森堡设计出伽马射线显微镜思想实验箜。在这实验里，实验者 朝着电子发射出一个光壬来测量电子的位置和动量。波长短的光子可以很准确地测量到电子 位置；但是，它的动量很大，而且会因为被散射至随机方向，转移了一大部分不确定的动量 给电子。波长很长的光子动量很小，这散射不会大大地改变电子的动量。可是，电子的位置 也只能大约地被测知。根据瑞利判据，显微镜准确分辨电子位置的不确定性上，大约为其中，是显微镜的焦距，L是光子波长，。是孔径的直径。假设电子原本的位置是在显微镜的隹点taut?
11、= D/2/；其中，是孔径角，对于小角弧，言H所以，工 h A/20由于动量守恒定律，光子的碰撞会改变电子的动量。根据康普顿散射理论，电子动量的不确 定性户是Ap a; psin(20) a 2h9/A；其中， J 1，是光 子的动量，/，是普朗克常数对于这测量运作，位置不确定性和动量不确定性的乘积关系为AjAp r h这是海森堡不确定性原理的近似表达式。：21在这实验里，被测量的物理量是位置，白，是测量误差，而被搅扰的物理量是动量，户是搅扰误差H；S；，因此，%erturb在经典力学里，在测量物体时，搅扰可以被消减得越小越好，但在量子力学里，存在着一个 基础下限，搅扰不能低于这基础下限，并且
12、，这搅扰无法被控制、无法被预测、无法被修正。 海森堡显微镜实验创新地给出这两种限制罚：47-50。单狭缝衍射编辑单狭缝实验示意图。粒子的波粒二象性的概念可以用来解释位置不确定性和动量不确定性的关系。自由粒子的波 函数为平面波。假设，这平面波入射于刻有一条狭缝的不透明挡板，平面波会从狭缝衍射出 去，在档墙后面的侦测屏，显示出干涉图样。根据单狭缝衍射公式，从中央极大佰位置（最 大波强度之点）至U第一个零点（零波强度之点）的夹角,为sin 9 = X/u其中，L是平面波的蛙，是狭缝宽度。给定平面波的波长，狭缝越窄，衍射现象越宽阔，越大；狭缝越宽，衍射现象越窄缩，:越 小。当粒子穿过狭缝之前，在y方向
13、（垂直于粒子前进方向，x方向）的动量是零。穿过狭缝 时，粒子的遭遇搅扰。新的E可以由粒子抵达侦测屏的位置计算出来。E的不确定性大约是Apy a p sin 9 p9 pjw当粒子穿过狭缝时，粒子的位置不确定性甘是狭缝宽度：,。所以，位置不确定性与动量不确定性的乘积大约为R Apo从德布罗意假说-七所以，位置不确定性与动量不确定性遵守近似式陛：64-66AyApy 幻 h在这实验里，被测量的物理量是位置，上是测量误差Em，而被搅扰的物理量是 动量，3七是搅扰误差 H ：；：.，因此，yme QsiiJ -E -Pye rturb 幻互。理论概述编辑在数学方面，位置与动量之所以会存在有不确定性关系
14、，纯然是因为表达于位置空间与动量 空间的波函数分别是彼此的傅里叶变换（也就是说，位置与动量是共轭对偶）。在傅里叶分 析里，类似的关系式也会出现于其它傅里叶共轭对偶。例如，在声学里，纯音的音波频率集 中于单一频率，其傅里叶变换给出的在时域内的声波形状完全不具局域性（去局域性）的正 弦波。在量子力学里，粒子的位置与动量是共轭对偶，粒子在位置空间的位置旱物质波的形 状，动量可以用德布罗意关系式尸=给出，其中，；.是物质波的波数按照量子力学的数学表述，任意代表不相容可观察量的共轭对偶必须遵守类似的不确定性限 制。可观察量的本征态代表测量结果为其对应本征值的量子态。例如，给定不相容可观察量 业、优假若对
15、于可观察量.做测量，则在测量之后，系统的量子态会是的某个本征态匚。这本征态I 通常不会是B的本征态。 注2甲=心中靠-E）平面波呼=W波包德布罗意波的1维传播，复值波幅的实部以蓝色表示、虚部以绿色表示。在某位置找到粒子的概率(以颜 色的不透明度表示)呈波形状延展。波动力学里，波函数描述粒子的量子行为。在任意位置，波函数绝对值的平方是粒子处于那 位置的概率；概率越高，则粒子越常处于那位置。动量则与波函数的波数有关。根据德布罗意假说，物体是物质波，这性质称为波粒二象性。粒子的位置可以用波函数%.匚描述。假设这波函数的空间部分是单色平面波，以方程表示也宾)区己枷=己啊九其中，*，是波数，尸I；是动量
16、。玻恩定则(Born rule)表明，波函数可以用来计算概率，在位置与&之间找到粒子的概率厂 为Pa x 1。能量-时间不确定性原理编辑除了位置-动量不确定性关系式以外，最重要的应属能量与时间之间的不确定性关系式无疑。 能量-时间不确定性关系式并不是罗伯森-薛定谔关系式的明显后果。但是，在狭义相对论里， 四维动量是由能量与动量组成，而四维坐标是由时间与位置组成，因此，很多早期的量子力 学先驱认为能量-时间不确定性关系式成立：5ABAf -可是，他们并不清楚上,的含意到底是什么？在量子力学里，时间扮演了三种不同角色：伽时间是描述系统演化的参数，称为外在时间”，它是含时薛定谔方程的参数，可以用实验
17、室 计时器来量度。对于随时间而演化的物理系统，时间可以用动态变量来定义或量度，称为“内秉时间”。例如， 单摆的周期性震荡，自由粒子的直线运动。时间是一种可观察量。在做衰变实验时，衰变后粒子抵达侦测器的时刻，或衰变后粒子的飞 行时间是很重要的数据，可以用来找到衰变事件的时间分布。在这里，时间可以视为可观察 量，称为“可观察时间”。列夫朗道曾经开玩笑说:“违反能量-时间不确定性很容易，我只需很精确地测量能量，然后 紧盯着我的手表就行了 ！ ”衍尽管如此，爱因斯坦和玻尔很明白这关系式的启发性意义：一 个只能暂时存在的量子态，不能拥有明确的能量；为了要拥有明确的能量，必须很准确地测 量量子态的频率，这
18、连带地要求量子态持续很多周期。阕例如，在光谱学里，激发态(excited state)的寿命是有限的。根据能量-时间不确定性原理， 激发态没有明确的能量。每次衰变所释放的能量都会稍微不同。发射出的光子的平均能量是 量子态的理论能量，可是，能量分布的峰宽是有限值，称为自然线宽(natural linewidth)。 衰变快的量子态线宽比较宽阔；而衰变慢的量子态线宽比较狭窄。筋衰变快的量子态的线 宽，因为比较宽阔，不确定性比较大。为了要得到清晰的能量，实验者甚至会使用微波空腔 (microwave cavity)来减缓衰变率奕。这线宽效应，使得对于测量衰变快粒子静止质量的 工作，也变得很困难。粒子
19、衰变越快，它的质量的测量越不确定。啊：8。关于能量与时间的不确定性原理时常会被错误地表述：假若，测量一个量子系统的能量至不 确定性至多为/，那么，需要的测量时间间隔为mW-。闵这表述与兰道的评 论所提到的表述类似。亚基尔阿哈罗诺夫和戴维玻姆指出这表述不成立。时间间隔 是系统维持大致不变、不受到扰动的时间间隔；而不是实验仪器开启关闭的测量时间间隔。 另外还有一种常见的错误概念，即能量-时间不确定性原理允许物理系统暂时违背能量守恒 物理系统可以从宇宙中暂时借用能量，只要能在短时间内全数还回就行。虽然这符合相对论 性量子力学的精髓，但这是基于错误公理一帝所有时间宇宙能量是完全已知参数。更正确 地说，
20、假若事件发生的时间间隔很短，则这事件的能量不确定性很大。因此，假设量子场论 的计算涉及到暂时电子正子偶，这并不表示能量守恒被违背，而是量子系统的能量的不确定 性并不能狭窄限制其物理行为。这样，所有可能物理行为与相关影响都必须纳入量子计算， 包括那些具有能量比能量分布平均值大很多或小很多的物理行为。倒：56真实系统的能量与 无扰动系统的能量不同，不应混淆在一起。倒1945年，雷欧尼曼德斯坦(Leonid Mandelshtam)和伊戈尔塔姆共同给出能量-时间不确 定性原理的一种表述阕。假设某量子系统的含时量子态为为：，可观察量为刀。设定m，则能量-时间不确定性关系式为Et |其中，是同的能量标准
21、差，而是期望值减少或增加一个标准差所需的时 间间隔，即期望值二明显改变所需的时间间隔。导引编辑1根据埃伦费斯特定理四弓促项+制其中，：是时间，是哈密顿量一般而言，算符不显性地含时间。所以，稍加编排，取对值，可以得到切|=九舸不确定性原理阐明，对于任意两个可观察量/和HHA8 纣但 B)所以，对于量子态.:，哈密顿算符与能量/的关系是At =设定AB丁那么，能量-时间不确定性关系式成立:EN g-33:110-114在这里，微分元素小指的是外在时间，而时间间隔指的是内秉时间，它与可观察量有 关，并且与系统的量子态有关。批评与反应编辑主条目：玻尔一旁因斯坦论战决定论与实在论的追随者酷嗜将哥本哈根诠
22、释与海森堡不确定理论视为可供批评的双重标 靶。根据哥本哈根诠释，量子态描述的并不是基础实在，而是实验计算求得的结果。没有任 何量子理论可以得知系统状态的基础本质，量子理论只能预测做实验观察的结果。爱因斯坦认为，不确定性原理显示出波函数并没有给出一个粒子的量子行为的完全描述；波 函数只预测了一个粒子系综的概率性量子行为。玻尔则主张，波函数已经给出了关于一个粒 子量子行为的描述，从波函数求得的概率分布是基础的，一个粒子只能拥有明确的位置或动 量，不能同时拥有两者。这是不确定性原理的真谛陛，如同俗语鱼与熊掌不可兼得，一个 粒子不能同时拥有明确的位置与明确的动量。两位物理大师的辩论，对于不确定性原理以
23、及 其所涉及的种种物理问题，延续了很多年。21世纪最初十年里获得的一些实验结果对于不 确定原理的适用范围持严格怀疑态度。E爱因斯坦狭缝编辑左边为爱因斯坦狭缝问题的固定挡板与狭缝实验装置。右边为玻尔设计出一个改良的实验装置，他将固定 挡板更换为一个可上下移动的挡板。爱因斯坦提出了一个思想实验来挑战不确定性原理，称为“爱因斯坦狭缝问题”。爱因斯坦认 为这个思想实验能够同时量度出粒子明确的位置与动量：爱因斯坦狭缝问题的实验装置与单狭缝实验的装置类似。最大的不同就是只考虑一个粒子的 量子行为。如右图所示，假设在一块挡板的内部刻有一条狭缝，朝着这狭缝垂直地发射一个 粒子，这粒子穿过了狭缝，再移动一段行程
24、后，抵达侦测屏。假若不确定性原理是正确的，那么，这宽度为的狭缝，在粒子通过的时候，给予了粒子的朝上下方向的动量大约的不确定性。但是，可以测量挡板的反冲作用所造成的动量至任意准确度。根据动量守恒定律 粒子的动量等于挡板的反冲动量，取至任意准确度，而粒子位置的不确定性只有，所以， 不确定性原理不成立。为了要更明显地表现爱因斯坦的点子，玻尔设计出一个改良的实验装置。玻尔回应，挡板也 是量子系统的一部分。假若要测量反冲作用的动量至准确度低于上尸，则必须知道，在粒子 通过前后，挡板的动量至准确度低于,。这前提引出了挡板位置的不确定性二M。这不确定性会连带转移成为狭缝位置的不确定性和粒子位置的不确定性，
25、因此必须遵守不确定性原理。爱因斯坦光盒编辑1930年，在第六次索尔维会议，爱因斯坦发表了一个思想实验，来挑战能量时间不确定性原理，。这个实验与爱因斯坦狭缝实验类似，只是在这里，粒子穿过的狭 缝是时间：阕试想一个装满了光子的盒子。在盒子的一边有一个孔径，盒子内部的时钟可以通过控制器将 孔径外的快门开启短暂时间间隔；，发射出一颗光子，然后再将快门关闭。为了要测量发 射出去的光子的能量，必须量度发射前与发射后盒子的质量M，应用狭义相对论的质能方 程/= m尸，就可以计算出来失去的能量/。理论而言，快门的开启时间间隔是个常数，只要能让一个光子发射出去就行，而盒子的质量可以量度至任意准确度，因此 七 能
26、量-时间不确定性原理不成立。经过整晚思考爱因斯坦的巧妙论述，玻尔终于找到了这论述的破绽。玻尔于1948年正式发 表了他的反驳，啊他指出，为了保证实验的正确运作，必须用弹簧将盒子悬吊起来，在盒 子的另一边固定一个指针。盒子的支撑架固定了一根直尺。指针所指在直尺的数目，可以用来纪录盒子的位置。根据位置-动量不确定性原理，测量盒子位置的不确定性与测量盒子动量的不确定性，两者之间的关系式为：AgAp h 互。从牛顿运动定律可以推论，质量的不确定性3，门会造成动量的不确定性H，所以动量的不确定性下限为p 其中，丁是测量质量所需的时间间隔（不是快门开启的时间间隔），是万有引力常数按照广义相对论，假若将时钟
27、朝着引力方向移动土则其量度时间的不确定性丁为M. T =从上述三个方程，可以得到ATAm h/(?o将质能方程代入，则有关系式W。因此，能量-时间不确定性原理。玻尔又一次化解了爱因斯坦提出的难题，但是，假设将光 子更换为普通气体粒子，则这问题只涉及到非相对论性量子力学，为什么需要使用相对论来 解析这问题？实际而言，使用量子力学的理论就可以解释这难题了。啊：27-28另外，爱因斯 坦的，是快门开启的时间间隔，而玻尔的丁则是量度盒子质量的时间不确定性，两者不 是同一个变量，因此，玻尔并没有精准地反驳爱因斯坦的问题。啊EPR悖论编辑主条目：EPR悖论1935年，爱因斯坦、鲍里斯波多尔斯基、纳森罗森共
28、同发表了 EPR悖论，分析两个相隔 很远粒子的量子纠缠现象。爱因斯坦发觉，测量其中一个粒子A，会同时改变另外一个粒子 B的概率分布，但是，狭义相对论不允许信息的传播速度超过光速，测量一个粒子A，不应 该瞬时影响另外一个粒子B。这个悖论促使玻尔对不确定性原理的认知做出很大的改变，他 推断不确定性并不是因直接测量动作而产生例。从这思想实验，爱因斯坦获得益愈深远的结论。他相信一种自然基础假定”：对于物理实在 的完备描述必须能够用局域数据来预测实验结果，因此，这描述所蕴含的信息超过了不确定 性原理(量子力学)的允许范围，这意味着或许在完备描述里存在了一些局域隐变量(hidden variable)，而
29、当今量子力学里并不存在这些局域隐变量，他因此推断量子力学并不完备。1964年，约翰贝尔对爱因斯坦的假定提出质疑。他认为可以严格检验这假定，因为，这假 定意味着几个不同实验所测量获得的概率必须满足某种理论不等式。依照贝尔的提示，实验 者做了很多关于这悖论的实验，获得的结果确认了量子力学的预测，因此似乎排除了局域隐 变量的假定。但这不是故事的最后结局。虽然，仍可假定非局域隐变量”给出了量子力学的 预测。事实上，大卫波姆就提出了这么一种表述。对于大多数物理学家而言，这并不是一 种令人满意的诠释。他们认为量子力学是正确的。因为经典直觉不能对应于物理实在，EPR 悖论只是一个悖论。EPR悖论的意义与到底
30、采用哪一种诠释有关。哥本哈根诠释主张，测 量这动作造成了瞬时的波函数坍缩。但是，这并不是瞬时的因果效应。测量这动作只涉及到 对于物理系统的定量描述，并没有涉及到整个物理系统。多世界诠释主张，测量动作只会影 响被测量粒子的量子态，因此局域性相互作用严格地被遵守。采用多世界诠释，可以对贝尔 提出的质疑给予解释。波普尔批评编辑主条目：波普尔实验卡尔波普尔是以做为一位逻辑学者与形而上学实在论者所持有的态度来研究不确定性问 题。f43f44他认为不应该将不确定性关系应用于单独粒子，而是应该应用于粒子系综，即很 多以同样方法制备出来的粒子。E 根据这种统计诠释，实验者可以精心设计测量运作， 使得测量运作能
31、够满足任意准确度，又不违反量子理论。1934年，波普尔发表论文评论不确定性关系(Critique of the Uncertainty Relations)46,同年又发表著作科学发现的逻辑(The Logic of Scientific Discovery)，其中， 他给出统计诠释的论点。1982年，在著作量子理论与物理学分歧里，他将自己的理论 更加推进，他写明：无可置疑地，从量子理论的统计公式可以推导出海森堡的公式。但是，很多量子理论者惯常 性地错误诠释了这些公式，他们认为这些公式可以诠释为决定测量精确度的某种上限。(原 文以斜体强调)卡尔波普尔剧波普尔提出了一个证伪不确定性关系的实验，但
32、在与卡尔冯魏茨泽克、海森堡、爱因斯坦 会谈后，他又将初始版本收回。这实验可能影响了后来EPR思想实验的表述。43481999 年，波普尔实验的一个版本成功付诸实现。圈反驳实证编辑维也纳科技大学(Vienna University of Technology)的长谷川祐司(Yuji Hasegawa)准教 授与名古屋大学的小泽正直(Masanao Ozawa)教授等学者于2012年1月15日发表反驳 海森堡不确定性原理的实证结果。他们用两台仪器分别测量中子的自旋角度并计算后，得到 了比海森堡不确定性原理所示误差更小的测量结果，此即证明海森堡不确定性原理所主张的 测量极限是错误的。但是，不确定性原理仍旧正确无误，因为这是粒子内秉的量子性质。注释编辑A 2014年，一个国际研究小组表示，假若以熵来量度不确定性，则可证明，不确定性原理 与波粒二象性等价。Ea 2.027T通常这句话成立，但也存在有例外。思考氢原子的鱼量子数为零(=*的量子 态，它是、】.，、:的本征态，本征值都为零，而这三个自伴算符都互不对易，它们对 应的可观察量彼此之间都是不相容可观察量。
