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1、教材106页例2：求二面角-l-的余弦值。,教材109页例4:求二面角C-PB-D的大小。,改编教材109页 例4,如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.(1)求证:PA|平面EDB;(2)求证:PB平面EFD;(3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值;,用法向量求二面角的大小,成都七中高新校区 康盛,两半平面的法向量与二面角有怎样的关系？,根据上图，分小组进行讨论-“两法向量的夹角与二面角的关系.”,两法向量的夹角与二面角的关系,=-互补,=相等,如何判别互补还是相等？,根据教材109页例4改编,如图，
2、在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.(1)求证:PA|平面EDB;(2)求证:PB平面EFD;(3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值;,解:建立如图空间直角坐标系，A(2,0,0),C(0,2,0)B(2,2,0),E(0,1,1)易得平面BDF的法向量设平面BDE的法向量 根据观察，二面角为锐二面角，故二面角F-BD-E的余弦值为.,判断互补还是相等的简单的方法是：观察二面角的大小来判定.,练习题1,如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=4,AB=2,点E在CC1上，且C1E=3EC.求二面
3、角A1-DE-B的余弦值;,练习题1,如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,点E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;,解:建立如图空间直角坐标系，D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)平面BDE的法向量 平面A1DE的法向量根据观察，二面角为。,齐相国老师刊登在数学通讯2009年第4期的法向量求二面角时法向量方向的判定方法。李峰老师发表在数学通讯2010年第9期的对“法向量求二面角时法向量方向的判定方法”一文的改进,规定:如图,分别在半平面，内各取一点M,N(不在棱上取),我们称(与法向量不
4、共线)为内部向量。,内部向量MN判定法,异号互补,同号相等,内部向量MN判定法,练习题1,如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,点E在CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;,解:建立如图空间直角坐标系，D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)求得平面BDE的法向量，平面A1DE的法向量取内部向量 故二面角A1-DE-B的余弦值为.,1、建立空间直角坐标系，写出点的坐标。,用法向量求二面角的大小的一般步骤:,2、求出两半平面的法向量，并求出其夹角。,3、用观察法，确定二面角的大小。或取内部向量（同号
5、相等，异号互补），判定二面角的大小。,4、下结论。,练习题2,如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD|BC,ABC=900,SA面ABCD,SA=AD=1,AB=BC=2,求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值;,练习题2,如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD|BC,ABC=900,SA面ABCD,SA=AD=1,AB=BC=2,求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值;,解:建立如图空间直角坐标系，A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,1)易知平面SAB的法向量，求出平面SDC的法向量取内部向量 故二面角的余弦值为.,课堂小结,1、弄清楚两法向量的夹角与二面角的关系。,2、利用内部向量判定二面角的大小。,5、分析、归纳问题的能力。,4、感知空间中点、线、面在运动过程中的位 置关系的变化，及空间想象能力的培养。,3、用法向量求二面角大小的一般步骤。,课后作业,教材112页，A组第6题.,B组第2，3题.,
