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1、专题二十四统计（3）变量间的相关关系及统计案例一、知识梳理：1. 变量间的相关关系1. 相关关系的量：当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系.2. 回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析.3. 散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.4. 正相关与负相关概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关.如果散点图中的 点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关.5.回归直线：设所求的直线方程为yf+仪,其中Hxnx21 M| Hy=.求回归直6.相关系数：r=叫做变量y与x之间的样本相:y2
2、 - ny2 i1 i=1利用公式K2=n (ad-bc)2(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)由观测数据计算得到随机变量K2的观测值k；线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.x y - nxyiii=1关系数，简称相关系数，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度.7. 相关系数的性质：|r|W1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小.8. 独立性检验：一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x和yy2，其样本频数列 联表（称为2 X 2列联表）为右上表;若要推断的论述为H1： X与y有关系，可以按如下步骤判断
3、结论H1成立的可能性:根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；如果kk0，就以（1P（K2Nk）X100%的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y 有关系”的充分证据.【要点解读】要点1相关关系的判断施化肥ir15202530354045棉花产量p330345365405445450455*棉花产量500450-. 400. 350- 300【例1】山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、 形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥 量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）.（1）画出散点图；（2）判断是否具有相关关系.,X10 20 30 4
4、0 50施化肥量【命题立意】考查相关关系的分析方法.【标准解析】用施化肥量x作为横轴，产量y为纵轴可作出散点图，由散点图即 可分析是否具有线性相关关系.【误区警示】正确选择坐标描点，并准确观察散点的实际分布判断两变量的正相关和负相关是常用方法 【答案】散点图如右图所示， （2）由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系.得散点图（1）;对变量u、v有观测数据（ui，由图（2）可知，各点整体呈递增趋势，u与v【变式训练】对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i = 1,2，10）， vi）（i = 1,2，10），得散点图（2）.由这两个散点图可以判断
5、（A. 变量x与y正相关，u与v正相关B. 变量x与y正相关，u与v负相关C. 变量x与y负相关，u与v正相关D. 变量x与y负相关，u与v负相关 【标准解析】由图（1）可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关， 正相关.【技巧点拨】注意正负相关的判断标准.【答案】C要点2线性回归分析【例2】一台机器使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小 时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：来源:学科转/秒）1614128每小时生产有缺点的零件数y（件）11985（1）对变量y与x进行相关性检验；（2）如果y与x有线性相关关系，求回归直
6、线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？【命题立意】考查线性回归分析方法。【标准解析】利用相关系数r进行线性相关检验（也可利用散点图）.如果线性相关，再求回归直线方程并加以判断.438-112. 5J656?25 25.62因为，X5所以与笑有很强的线性相关关系一一 _ 人一_ y =0.728 6x0.857 1.(3)要使云 10 0.728 6x-0.857 110，所以 x14.901 3.（2）估计使用年限为10年时的维修费用.【标准解析】先作出散点图，然后检验相关性，再求其回归直线.【技巧点拨】对具有相关关系的
7、两个变量进行统计分析时，首先要作出散点图，然后进行相关性检验，在确认具解答：作散点图，如右图7有线性相关关系后，再求其回归直线.。由散点图可知,与x呈线性相关关系，*=4, j，=5,工xf=90,112.3.所以力= 1.23, q=j，一Av=5-1.23X4 = 0.08.所以回归直线方程为项=1.23x+0.08.(2)当 x=10 时，；=1.23X 10+0.08=12.3+0.08=12.38(万元)，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元要点3独立性检验 【例3】某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在29.94,30.06）的零件为优质品.从两
8、个分厂生产的零件中各抽出了 500件，量其内径尺寸，得结果如下表:甲厂:分组29.86, 29. 90)290, 29. 94)29.94, 29. 98)29.98, 30. 02)30.02, 30. 06)30.06, 30. 10)30.10, 30. 14)频数12638618292614乙厂:【误区警示】图表数据及利用计算数据判断独立性的步骤必须正确理解360【答案】(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为500 =72%；(2)320 乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为_00 =64%.1 (KJOX(360X
9、ISO320X 140)1所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异” 【变式训练】在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了 124人，其中女性70人，男性54人.女性中有43人 主要的休闲方式是看电视，另外27人的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人 主要的休闲方式是运动.根据以上数据建立一个2 X 2列联表;(2)画出二维条形图;(3) 检验休闲方式是否与性别有关，可靠性有多大.【标准解析】独立性检验的考查。【技巧点拨】先由已知条件转化联表及条形图，然后由公式计算k2与临界值的关系。(2)二维条形图如图:方式性别看电视运动合计女432770男213354合计6460124【答案】(1)2X2列联表如图:124 x (43 x 33 - 27 x 21)2假设休闲方式与性别无关,则K2=70x 54 x 64x 60 F 201* 024,所以有理由认为休闲方式与性别无关是不合理的，即我们有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关.
