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1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初 等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性 强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学 生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.初中数学教材中 主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一 讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解
2、中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a土b)2 = a22ab+b2a22ab+b2=(a土b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充两个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知 a, b，c 是 A ABC 的三边，
3、且 a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca，则AABC的形状是()A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca n 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2can (a 一 b)2 + (b 一 c)2 + (c 一 a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.(一) 分组后能直接提公因式例1、分解因式：am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分 解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考
4、虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am + an) + (bm + bn)=a(m + n) + b(m + n)每组之间还有公因式！=(m + n)(a + b)例 2、分解因式：2ax -lOay + 5by - bx解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。解：原式=(2ax -10) + (5by - bx) = 2tz(x -5y) -Z?(x-5y) =(x 5y)(2o b)解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式=(2ax - bx) + (-10。+ 5by)=x(2a - b) -5y(2a - b)(2i Z?)(
5、x 5y)练习：分解因式1、-ab + ac-bc2、xy-x-y + 1(二) 分组后能直接运用公式例3、分解因式：%2 _y2 + ax + ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但 提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(X2 -y2)+ (ax + ay)= (x+y)(x-y) + a(x+y)= (x+j)(x-y + a)例 4、分解因式：。2 2。/? + Z?2 解：原式=(。2 一2。/? + /?2)一。2=( -Z?)2 - Cd=(a Id c)(i Z? + c)练习：分解因式 3、X2 -x-9y2 -3y4、12 -
6、2 - 乎 一 2yz综合练习：(1) X3 +x2y-xj2 -(2) ax -bx +bx-ax + a-b(3)工2 + 6xy + 92 16。2 + 8。一 1 (4) 2 - 6ab + 12Z? + 9b -4a(5) 14一2。3+。29(6) 4ax-4ay -bx + by(7) X2 - 2xy - xz + yz + y2(8) a2 -2a + b -2b + lab +1(9) y(y - 2) - (m -l)(m +1)(io) (a + c)(a - c) + b(b - 2a)(11) (b + c) + (a + c) + (a + b) + labc (
7、12) a +b +c - 3abc四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式42 + 3 + q)x + pq = (x+ p)(x + q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1；(2) 常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律例.已知00 而且是一个完全平方数。于是 = 9 - 8a为完全平方数，a = 1例5、分解因式：x2 + 5x + 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2X3=(-2)X(-3)=1 X6=(-1)X(-6)，从中可以发现只有2X3的分解适 合，即 2+3=5。12.解：x2
8、 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + 2 x 313=(x + 2)( x + 3)1X 2+1X 3=5 . . . . . 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数 和要等于一次项的系数。例6、分解因式：x2 一7x + 6解：原式=x2 + (-1) + (-6)x + (-1)(-6)1 -一一l -1=(x 1)( x 6)1-6,(-1) + (-6) = -7练习 5、分解因式(1)x2 +14x + 24 (2)a2 15a + 36(3)x2 + 4x 5练习 6、分解因式(1)x2 + x 一 2(2) y2 - 2y -15
9、(3)x2 -10x 一 24(二)二次项系数不为1的二次三项式 ax2 + bx + c 条件：(1)(2)(3)分解结果:c = c cb = a c + a cb = a c + a c12211221ax2 + bx + c = (a x + c )(a x + c )例7、分解因式：3x2 llx +10分析：1 -2(-6) + (-5) = -11、解：3x2 llx +10 = (x 2)(3x 5)练习 7、分解因式：(1) 5x2 + 7x 6(2) 3x2 7x + 2(3) 10x2 17x + 3(4) 一62 +11 y +10(三) 二次项系数为1的齐次多项式例8
10、、分解因式：a2 8ab 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进 行分解。1*-一-一 8b厂 -16b8b+(-16b)= -8b解：a2 8ab 128b2 = a 2 +8b + (16b)a + 8b x (16b)=(a + 8b)(a 16b)练习 8、分解因式(1)x2 一 3xy + 2y2(2)m2 6mn + 8n2(3)a2 ab 6b2(四) 二次项系数不为1的齐次多项式例 10、x 2 y 2 一 3 xy + 2把xy看作一个整体 1、l -11 -2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)( xy 2)例 9、2
11、x 2 7 xy + 6 y 21、/ -2y2 / -3y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2 y )(2 x 3 y)练习 9、分解因式：(1) 15x2 + 7xy 一4y2(2) a2x2 6ax + 8综合练习 10、(1) 8x6 7x3 1(3)(x + y )2 3( x + y) 10(2) 12 x 2 11xy 15 y 2(4) (a + b)2 4a 4b + 3(5)(7)(9)(6) m2 4mn + 4n2 3m + 6n + 2(8) 5(a + b)2 + 23(a2 b2) 10(a b)2x 2 y 2 一 5 x 2 y 一 6 x 2x
12、 2 + 4 xy + 4 y 2 一 2 x 一 4 y 一 34x2 一 4xy 一 6x + 3y + y2 一 10 (10) 12(x + y)2 +11(x2 一 y2) + 2(x一 y)2思考：分解因式：abcx2 + (a2b2 + c2)x + abc五、换元法。例 13、分解因式（1） 2005x2 （20052 1）x-2005(2) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2解：(1)设 2005= a，则原式=ax2 (a2 1)x a=(ax +1)( x a)=(2005 x +1)( x 2005)(2)型如abcd + e的多项式，分解
13、因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x 2 + 7 x + 6)( x 2 + 5 x + 6) + x 2设 x2 + 5 x + 6 A，则 x2 + 7 x + 6 = A + 2 x原式=(A + 2 x) A + x 2 = A 2 + 2 Ax + x 2=(A + x)2 = (x 2 + 6 x + 6)2练习 13、分解因式(1) (x2 + xy + y2)2 4xy(x2 + y2)(2) (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) + 90(3) (a2 +1)2 + (a2 + 5)2 4(a2 + 3)2例 14、分解因式（1） 2x4 一 x3
14、- 6x2 一 x + 2并且观察：此多项式的特点一一是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1, 系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=x2 (2 x2 x 6 + ) = x212( x2 + ) (x + ) 6xx2111设 x+ t，贝g x2 + t2 2x.原式=x 2( 12 2) t 6】=x 2 Gt 2 t 10 )上 2 一Y=x2(2t 5)( + 2)= x2 2x + 二-5 x + 上 +(21(11x2 x + 5 x x + 2V x )Vx )=(x +1)2(2 x 1)( x
15、 2)2 )x 2 5 x + 2 )(2 + 2 x +1)(2) x4 4x3 + x2 + 4x +1一. /,41、解：原式=x2(x2 4 x +1 + + ) = x2x x 21(1 x 2 +Vx2 )(4 x Vx)11设 x y，则 x 2 +一 y 2 + 2 xx2.原式=X 2(产4 y + 3) = x 2( y -1)( y - 3)=X2(x - -1)(X - - 3) = C2 - x -1)X2 - 3x -1)Xx练习 14、(1) 6x4 + 7x3 - 36x2 一 7x + 6(2)X 4 + 2 X 3 + X 2 + 1 + 2( X + X
16、2)六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式(1) X3 - 3x2 + 4解法1拆项。原式=X3 + 1 一 3X2 + 3=(X + 1)(X2 - X +1) - 3(X +1)(x -1)=(x +1)(x 2 - x +1 - 3x + 3)=(x +1)(x2 - 4X + 4)=(X +1)(x - 2)2解法2添项。原式=x3 3 x2 4 x + 4 x + 4= x(x 2 - 3x - 4) + (4x + 4)=x( x +1)( x - 4) + 4( x +1)=(x +1)(x2 - 4X + 4)=(x +1)( x - 2)2(2)X9 + x6 + x3 -
17、 3解：原式=(x 9 一 1) + (x 6 一 1) + (x 3 一 1)=(X3 - 1)(X6 + X3 + 1) + (X3 - 1)(X3 + 1) + (X3 - 1)=(X 3 1)( X 6 + X 3 + 1 + X 3 + 1 + 1)练习15、分解因式(1) x3 9 x + 8(3)x4 -7x2 +1(5)x4 + y4 + (x + y)4=(X - 1)(X2 + X + 1)(X6 + 2X3 + 3)(2) (X + 1)4 + (X2 - 1)2 + (X - 1)4(4) x4 + x2 + 2ax +1 -a2(6) 2a2b2 + 2a2c2 +
18、2b2c2 -a4 -b4 -c4七、待定系数法。例 16、分解因式 x2 + xy - 6 y2 + x +13 y - 6分析：原式的前3项x2 + xy - 6y2可以分为(x + 3y)(x - 2y)，则原多项式必定可 分为(x + 3y + m)(x - 2y + n)解：设 x2 + xy - 6 y2 + x +13 y - 6 = (x + 3 y + m)( x - 2 y + n),/ (x + 3y + m)(x - 2y + n) = x2 + xy - 6y2 + (m + n)x + (3n - 2m)y - mnx2 + xy - 6 y 2 + x +13 y
19、 - 6 = x2 + xy - 6 y 2 + (m + n)x + (3n - 2m) y - mnI m = 一2对比左右两边相同项的系数可得3n - 2m = 13，解得 In = 3 mn = 6上原式=3 + 3 y 2)3 2 y + 3)例17、(1 )当m为何值时，多项式x2 y2 + mx + 5y 6能分解因式，并分解此多 项式。(2)如果x3 + ax2 + bx + 8有两个因式为x +1和x + 2，求a + b的值。(1)分析：前两项可以分解为(x + y)(x y)，故此多项式分解的形式必为(x + y + a)(x y + b)解：设 x 2 y 2 + mx
20、 + 5 y 6 = (x + y + a)(x y + b)贝x2 y 2 + mx + 5 y 6 = x2 一 y 2 + (a + b)x + (b 一 a) y + aba + b = ma = 2a = 2比较对应的系数可得：b a = 5，解得：b = 3 或 (1) 通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有 无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用 分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；(2) 若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除 法、拆项(添项)等方法；下面我们一
21、起来回顾本章所学的内容。1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1.分解因式 X5 - X4 + X3 - X2 + x - 1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把X5 - X4 +X3和X2 + X - 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把X5 - X4，X3 - X2，X - 1分别看成一组，此时的六项 式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式=(X5 X4 + X3) (X2 X + 1)=X3(X2 - X + 1) -(X2 - X + 1)=(X3 - 1)(x2 - X + 1)=(x - 1)(x2 - X + 1)(
22、x2 + X + 1)解二：原式=(X5 - X4) +(X3 - X2) +(X - 1)=X4(X - 1) + X2(X - 1) +(X - 1)=(X - 1)(x4 + X2 + 1)=(x - 1)(x4 + 2x2 + 1) - x2=(x - 1)(x2 - x + 1)(x2 + x + 1)|2. 通过变形达到分解的目的例1.分解因式X3 + 3x2 - 4原式=X3 + 2x2 + (x2 - 4)=x2(x + 2) + (x + 2)(x - 2)=(x + 2)(x2 + x - 2)=(x - 1)(x + 2)2解二：将常数-4拆成-1 - 3,则有原式=x3
23、 - 1 + (3x2 - 3)=(x - 1)(x2 + x + 1) + (x - 1)(3x + 3)=(x - 1)(x2 + 4x + 4)=(x - 1)(x + 2)23. 在证明题中的应用例：求证：多项式(x2 - 4)(x2 - 10x + 21) + 100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要 证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：(x2 - 4)(x2 - 10x + 21) + 100】=(x + 2)(x - 2)(x - 3)(x - 7) + 100=(x + 2)(x - 7)(x - 2)(x - 3
24、) + 100=(x2 一 5x 一 14)(x2 - 5x + 6) + 100设 y = x2 - 5x，贝原式=(y - 14)(y + 6) + 100 = y2 - 8y + 16 = (y - 4)2无论y取何值都有(y - 4)2 0(x2 - 4)(x2 - 10x + 21) + 100的值一定是非负数4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：(a + 2b + c)3 - (a + b)3 - (b + c)3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的 关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B原式=(
25、A + B)3 - A3 - B3=A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 - A3 - B3=3A2B + 3AB2= 3AB(A + B)=3(a + b)(b + c)(a + 2b + c)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨例 1.在 AABC 中，三边 a,b,c 满足 a2 16b2 c2 + 6ab + 10bc = 0求证：a + c = 2b证明：/ a2 一 16b2 一 c2 + 6ab + 10bc = 0a2 + 6ab + 9b2 - c2 + 10bc - 25b2 = 0即(a + 3b)2 - (c - 5b)2 =
26、0(a + 8b - c)(a - 2b + c) = 0,/ a + b c. a + 8b c，即a + 8b 一 c 0于是有a - 2b + c = 0即 a + c = 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例2.已知：x +【=2，则x3 +-= xx3解： x3 +- = (x + )(x2 - 1 + )&=(x + 1)(x + -)2 - 2 - 1 x x=2 X 1=2说明：利用x2 + = (x + )2 2等式化繁为易。X2X题型展示1. 若x为任意整数，求证：(7 - x)(3-x)(4-X2)的值不大于100。解：(7 x)(3
27、 x)(4 x 2) 100=(x - 7)(x + 2)(x - 3)(x - 2) - 100=-(x2 - 5x - 14)(x2 - 5x + 6) - 100= -(x2 - 5x) - 8(x2 - 5x) + 16=-(x2 - 5x - 4)2 0.(7 - x)(3 - x)(4 - x2) A、一4m(2m2 3m)B、一4m(2m2 + 3m 1)C、一4m(2m2 3m 1)D、一2m(4m2 6m + 2)4、把多项式一2x4 4x2分解因式，其结果是()A、2(x42x2)B、2(x4+2x2)C、x2(2x2+4)D、2x2(x2+2)5、(2)1998+(2)1
28、999 等于( )A、21998B、21998C、21999D、219996、把16 x4分解因式，其结果是()!A、(2 x)4B、(4+x2)( 4 x2)C、(4+x2)(2+x)(2x)D、(2+x)3(2x)7、 把a42a2b2+b4分解因式，结果是()A、a2(a22b2)+b4B、(a2b2)2C、(ab)4D、(a+b)2(ab)28、把多项式2x2 2x+分解因式，2B、2(x 2 )2A、(2x- 2 )2其结果是(C、(x )22D、2 (x1)2A、4B、2 C、3D、4 或 210、一(2xy) (2x+y)是下列哪个多项式分解因式的结果()A、4x2 y2B、4x
29、2+ y2C、4x2 y2D、4x2 + y211、多项式x2+3x 54分解因式为()A、(x+6)(x9) B、(x6)(x+9)C、(x+6)(x+9)D、(x6)(x9)、二、填空题1、2x2 4xy2x =(x 2y1)2、 4a3b210a2b3= 2a2b2()3、(1 a)mn + a 1=()(mn 1)4、 m(m n)2 (n m)2 =()()5、 x2 () + 16y2=()26、 x2 ()2=(x+5y)( x5y)7、 a24(a b)2=() , ()8、a(x+yz) + b(x+yz) c(x+yz)= (x+yz) ()9、 16(xy)2 9(x+y)2=() , ()。10、(a + b)3 (a + b)=(a + b) - () - ()1
