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1、5.3 留数在定积分计算中的应用,一、形如 的积分,则,即 是以 u,v 为变量,的二元多项式函数或者分式函数。,方法,其中，是 在 内的孤立奇点。,(2),可知被积函数的分母不为零，,因而积分是有意义的。,及,(1)令,则,解,(2),(注意：一阶极点 不在 内),解,(3),事实上，可直接用洛朗展开的方法来求该点的留数。,解,(3),(1)令,则,记,解,(实数),其中，P(x),Q(x)为多项式；,(2)分母 Q(x)的次数比分子 P(x)的次数至少高二次；,(3)分母 Q(x)无实零点。,推导(略),其中，是 在上半平面内的孤立奇点。,要求,(1),方法,二、形如 的积分,(2),(3
2、),在上半平面内，i 与 3i 为 一阶极点。,在上半平面内，a i 与 bi 为一阶极点。,(2),(3),在上半平面内，为两个一阶极点。,令,(2),(3),三、形如 的积分,(2)分母 Q(x)的次数比分子 P(x)的次数至少高一次；,(3)分母 Q(x)无实零点。,其中，是 在上半平面内的孤立奇点。,方法,推导(略),特别,在上半平面内，1+3 i 为一阶极点。,(2),(3),(2),在上半平面内，i 为一阶极点，,(2),同理,(3),附：关于第二、三型积分中 有实孤立奇点的情况,在实轴上有,孤立奇点,则,其中，为第二、三型积分中的被积函数。,(2),在实轴上，为一阶极点，,附：关于第二、三型积分中 有实孤立奇点的情况,附：求函数 在 点的留数。,附：关于 型积分的公式推导,(1)如图，,取积分路径为,其中 的半径为,(2)根据留数定理有,附：关于 型积分的公式推导,(3),(当 足够大),附：关于 型积分的公式推导,(思路),推导,(4),(5)由,附：关于 型积分的公式推导,(1)如图，,取积分路径为,其中 的半径为,(2)根据留数定理有,(3),(当 足够大),(4),(5)由,
