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1、1,7.4 最短路径与关键路径,带权图最短路径与Dijkstra标号法PERT图与关键路径,2,最短路径,带权图G=,其中w:ER.eE,w(e)称作e的权.e=(vi,vj),记w(e)=wij.若vi,vj不相邻,记wij=.设L是G中的一条路径,L的所有边的权之和称作L的权,记作w(L).u和v之间的最短路径:u和v之间权最小的通路.,例1 L1=v0v1v3v5,w(L1)=10,L2=v0v1v4v5,w(L2)=12,L3=v0v2v4v5,w(L3)=11.,3,标号法(,1959),设带权图G=,其中eE,w(e)0.设V=v1,v2,vn,求v1到其余各顶点的最短路径p标号(
2、永久性标号):第r步获得的v1到vi最短路径的权t标号(临时性标号):第r步获得的v1经过p标号顶点到达vi的路径的最小权,是v1到vi的最短路径的权的上界第r步通过集Pr=v|v在第r步已获得永久性标号第r步未通过集Tr=V-Pr,4,标号法(续),5,标号法(续),6,PERT图(计划评审技术图),设有向图G=,vVv的后继元集+(v)=x|xVEv的先驱元集-(v)=x|xVEPERT图:满足下述条件的n阶有向带权图D=,(1)D是简单图,(2)D中无回路,(3)有一个入度为0的顶点,称作始点;有一个出度为0 的顶点,称作终点.通常边的权表示时间,始点记作v1,终点记作vn,7,关键路径
3、,关键路径:PETR图中从始点到终点的最长路径vi的最早完成时间TE(vi):从始点v1沿最长路径到vi所需的时间 TE(v1)=0 TE(vi)=maxTE(vj)+wji|vj-(vi),i=2,3,nvi的最晚完成时间TL(vi):在保证终点vn的最早完成时间不增加的条件下,从始点v1最迟到达vi的时间 TL(vn)=TE(vn)TL(vi)=minTL(vj)-wij|vj+(vi),i=n-1,n-2,1,8,关键路径(续),vi的缓冲时间TS(vi)=TL(vi)-TE(vi),i=1,2,nvi在关键路径上TS(vi)=0,9,例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间,最晚完成时
4、间,缓冲时间及关键路径.解 最早完成时间 TE(v1)=0 TE(v2)=max0+1=1 TE(v3)=max0+2,1+0=2 TE(v4)=max0+3,2+2=4 TE(v5)=max1+3,4+4=8 TE(v6)=max2+4,8+1=9 TE(v7)=max1+4,2+4=6 TE(v8)=max9+1,6+6=12,10,例2(续)最晚完成时间 TL(v8)=12 TL(v7)=min12-6=6 TL(v6)=min12-1=11 TL(v5)=min11-1=10 TL(v4)=min10-4=6 TL(v3)=min6-2,11-4,6-4=2 TL(v2)=min2-0,10-3,6-4=2 TL(v1)=min2-1,2-2,6-3=0,11,例2(续)缓冲时间 TS(v1)=0-0=0 TS(v2)=2-1=1 TS(v3)=2-2=0 TS(v4)=6-4=2 TS(v5=10-8=2 TS(v6)=11-9=2 TS(v7)=6-6=0 TS(v8)=12-12=0关键路径:v1v3v7v8,
