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1、第二十一讲 空间几何体的表面积和体积,一、引言（一）本节的地位：空间几何体的表面积和体积是从度量的角度认识空间几何体，是空间几何体学习的重要内容，也是继续研究和学习立体几何的基础，具体有两个任务：一是根据空间几何体的结构特征并结合它们的展开图，推导它们的表面积的计算公式；二是在初中学习几何体体积的基础上进一步学习几何体的体积.,（二）考纲要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，了解柱、锥、台体的侧面展开图的形状和各线段的位置关系，培养空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，能利用所学公式进行简单立体图形的表面积和体积的计算.,（三）考情分析：在高考命题中，几何体的表面积和体积以中、
2、低档题目出现的可能性较大，从考察形式上看，主要以选择题和填空题的形式出现，从能力要求上看，重点考查空间想象能力和从立体问题向平面问题转化的能力.,二、考点梳理1.柱体、锥体、台体的侧面积就是各侧面面积之和，表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.,4.圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即,5.棱柱和圆柱的体积公式为:,6.棱锥和圆锥的体积公式为:,7.圆台和棱台的体积公式为:,8.球的体积及球的表面积公式（1）如果球的半径为，那么它的体积为:.,（2）如果球的半径为，那么它的表面积为:.,三、典型例题选讲例1 如图,已知棱长为，各面均为等边
3、三角形的四面体,求它的表面积.,归纳小结：求锥、柱、台的表面积，就是求它们的侧面积与底面积之和，对于圆柱、圆锥、圆台，已知上、下底面半径和母线长可以用表面积公式直接求出，对于棱柱、棱锥、棱台没有一般计算公式，可以直接根据条件求各个面的面积.我们经常把立体几何问题转化为平面几何问题，这种立体几何平面化的思想和方法要认真体会.同时，要注意基础知识的落实，平面图形及相关性质要熟练掌握.,归纳小结：球的表面积公式为,既可由半径 求出球的表面积，也可适当变形，由球的表面积 表示球的半径.对于我们学习的公式，既要能够直接应用，更要研究它们的等价形式，培养合理转化的数学思想方法.,归纳小结：本题考查简单组合
4、体的表面积计算，突出空间想象能力，关键是抓住长方体的体对角线是球的直径这一性质.,归纳小结：求柱、锥、台体的体积时，根据体积公式，需要确定底面面积和高，底面面积一般可以由底面边长或半径求出，高则要转化为平面几何知识求出.在本题中，由正方体性质和边长，适当构造转化，不难求出棱长为1，高则为正方体边长的一半，均比较容易确定.值得注意的是，本题所求的是一个组合体的体积，解决这类问题，首先要有较好的空间想象能力和计算能力，能把比较复杂的立体图形拆分为比较简单的基本几何体.,归纳小结：本题主要考查正六棱柱的有关计算以及球的内接几何体的有关性质.计算球的体积关键是确定球的半径，正六棱柱的体对角线是球的直径
5、这一性质是问题解决的关键.本题对空间想象能力和计算能力都有一定要求.,归纳小结：求两个同底的三棱锥的体积的比，等价于求这两个三棱锥的高的比.在本题中，我们利用相似三角形对应边成比例的性质，把求高的比的问题转化为平面图形中求对应线段的比的问题，使立体图形平面化，复杂问题简单化，思路清晰简洁，过程和计算简单.,解决立体几何中的体积问题，我们常常用“等积变换”、“分割求和”、“拼补求差”等方法.在本题中，我们用了“等积变换”，把求三棱锥 与三棱锥 体积之比的问题转化为求三棱锥 与三棱锥 体积之比的问题，进而把立体问题转化为了平面问题，整个分析和求解过程，思路清晰，转化顺畅，化繁为简，一气呵成，自然合
6、理！,例7（2009宁夏海南）如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是（）A.B.C.三棱锥 的体积为定值D.,解析:可证,故A正确；由，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥 的高，三棱锥 的体积为 是定值，C正确；D错误.选D.,归纳小结：本题考查空间中的线线、线面关系以及面积和体积计算等知识，对空间想象能力和计算推理能力都有一定要求.,例8（2009天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则 _.,解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为 的等腰三角形，所以有,归纳小结：本题以三视图为载体，考查空间想象能力和
7、体积计算，问题的关键是把三视图转化为直观图，同时把握好量化关系.,例9 有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面边长分别等于 和，求它的深度为多少？,解：设深度为，由题意有：,.,.,.,归纳小结：本题考查棱台的体积公式，我们既要理解和熟练应用公式，更要关注所学公式的等价形式，灵活应用.,.,例10 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8 已知底面六边形边长是12，高是10，内孔直径是 那么约有毛坯多少个？（铁的比重是）,分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由铁比重算出一个六角螺帽毛坯的重量即可,解：因为,所以一个毛坯的体积为 约有毛坯（个）答
8、：这堆毛坯约有251个,.,归纳小结：本题主要考查简单组合体的体积.我们要努力提高计算和推理能力，同时，要注意培养数学应用意识.,例11 如图是一个奖杯的三视图（单位是cm），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到0.01cm),解：采用斜二测画法先画底座，这是一个正四棱台；再画杯身，是长方体；最后画出球体,因为,所以这个奖杯的体积为,.,归纳小结：计算组合体的体积时，应考虑将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积.,四、本专题总结 本专题主要研究了空间几何体的表面积和体积，突出的数学思想方法有数形结合的思想方法，运动与变化的思想方法，化归与转化的思想方法.在本专题学习中，需要注意，柱、锥、台、球的表面积公式和体积公式，要结合几何模型，在理解的基础上记忆和应用；求锥、柱、台的表面积，就是求它们的侧面积与底面积之和.,对于圆柱、圆锥、圆台，已知上、下底面半径和母线长可以用表面积公式直接求出，对于棱柱、棱锥、棱台没有一般计算公式，可以直接根据条件求各个面的面积；有关体积的问题，要注意“等积变换”、“分割求和”、“拼补求差”等解题思路；有关旋转体的问题或球与多面体的切、接问题，特别要注意应用轴截面.,
