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1、例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?,解：设信号 e(t)作用于系统，响应为 r(t),原方程两端乘A：,(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性,当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则,线性时不变系统,例：,判断下列两个系统是否为非时变系统。,系统1的作用是对输入信号作余弦运算。,所以此系统为时不变系统。,系统1：,系统2：,解：,时移 t0 经过系统,经过系统 时移 t0,现在的响应=现在的激励+以前的激励,所以该系统为因果系统。,所以该系统为非因果系统。,未来的激励,解：,解：,电感,电阻,电容,根据KCL,代入上面元件伏安关系，并化简有,例：求并联电路的端电压
2、与激励 间的关系。,解：,用消元法求得。,解：,例：列写 与 的微分方程。,解:齐次方程为 特征方程：特征根：该方程的齐次解为：,激励函数中a=-1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：,例：求微分方程的完全解,例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号f(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。,特征根为,齐次解yh(t),解(1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t),特征方程为,2)求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t),解得 A=5/2，B=-11/6,由输入f(t
3、)的形式，设方程的特解为,yp(t)=Ce-t,将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。,3)求方程的全解,讨论,1)若初始条件不变，输入信号 f(t)=sin t u(t)，则系统的完全响应y(t)=？,2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？,配平的原理：t=0 时刻微分方程左右两端的(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）,例：,该过程可借助数学描述,冲激函数匹配法确定初始条件,解：将 e(t)代入微分方程，t0 得,冲激函数匹配法,例：描述LTIS的微分方程为输入 如图，已知用冲激函数匹配法求,例：求
4、系统的零输入响应,解：特征方程,特征根,零输入响应,由起始条件,得零输入响应为,对系统线性的进一步认识,解得,冲激平衡法 冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。例：已知某线性非时变系统的动态方程式为,试求系统的冲激响应h(t)。,解 根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=(t)时，即为h(t)，即原动态方程式为由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有(t)。这样冲激响应h(t)必为Aetu(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为,特征根1
5、=-3，因此可设h(t)=Ae-3tu(t)，式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有,即,解得A=2，因此，系统的冲激响应为,求导后，对含有(t)的项利用冲激信号(t)的取样特性进行化简，即,例：求系统的零输入响应,解：特征方程,特征根,零输入响应,由起始条件,得零输入响应为,零输入响应,解 系统的特征方程为,例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为:系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。,系统的特征根为,y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1 y(0-)=yx(0-)=-2K1-3K2=3,解得 K1=6，K2=-5,例3 已知某线性时不变系统的
6、动态方程式为系统的初始状态为y(0-)=2，y(0-)=-1，求系统的零输入响应yx(t)。,解 系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,y(0-)=yx(0-)=K1=1;y(0-)=yx(0-)=-2K1+K2=3,解得 K1=1,K2=5,例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。,解 系统的特征方程为,系统的特征根为,y(0-)=yx(0-)=K1=1 y(0-)=yx(0-)=-K1+2K2=3,解得 K1=1，K2=2,例5 已知某LTI系统的动态方程式为y(t)+3y(t)=2f(t)，系统的冲
7、激响应h(t)=2e-3t u(t),f(t)=3u(t),试求系统的零状态响应yf(t)。,解,例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的单位冲激响应。,解：当f(t)=d(t)时,y(t)=h(t),即,动态方程式的特征根s=-3,且nm,故h(t)的形式为,解得A=2,例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。,解：当f(t)=d(t)时,y(t)=h(t),即,动态方程式的特征根s=-6,且n=m,故h(t)的形式为,解得A=-16,B=3,例1,例2：计算y(t)=p1(t)*p1(t)。,a)-t-1,b)-1 t 0,y(t)=0,c)0 t 1,d
8、)1 t,y(t)=0,练习1：u(t)*u(t),练习2：计算y(t)=f(t)*h(t)。,=r(t),例：利用位移特性及u(t)*u(t)=r(t)，计算y(t)=f(t)*h(t)。,y(t)=f(t)*h(t)=u(t)-u(t-1)*u(t)-u(t-2),=u(t)*u(t)-u(t-1)*u(t)-u(t)*u(t-2)-u(t-1)*u(t-2),=r(t)-r(t-2)r(t-1)+r(t-3),例1：已知 y(t)=f1(t)*f2(t)，求y(t)。,解：y(t)=y(t)*d(t)=f1(t)*f2(t)*d(t),例2：已知 y(t)=f1(t)*f2(t)，求y(-1)(t)。,解：y(-1)(t)=y(t)*u(t)=f1(t)*f2(t)*u(t),=f1(t)*f2(t),=f1(t)*f2(t),=f1(-1)(t)*f2(t),=f1(t)*f2(-1)(t),例3：利用等效特性，计算y(t)=f(t)*h(t)。,f(t)=d(t)-d(t-1),f(t)*h(t)=h(t)-h(t-1),例1 求图示系统的冲激响应。其中h1(t)=e-3t u(t)，h2(t)=d(t-1)，h3(t)=u(t)。,解：,子系统h1(t)与h2(t)级联，h3(t)支路与h1(t)h2(t)级联支路并联。,
