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1、1,第五章 回顾,通过对DTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在CTFT中都有相对应的结论，而且它们也存在一些重要的差别，例如DTFT总是以2为周期的,与第4章平行，第5章地讨论了DTFT，讨论基本思路和方法与第4章完全对应，得出类似结论,2,对偶性的讨论为进一步认识连续时间信号、离 散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几种工具之间的内在联系，提供了重要的理论根据。深入理解并恰当运用对偶性，有助于掌握CFS、DFS、CTFT、DTFT间的关系,通过卷积特性的讨论，对LTI系统建立了频域分析的方法。同样地，相乘特性的存在则为离散时间信号的提供了传输技
2、术理论基础,3,可以将对偶关系归纳为如下图表:,连续时间傅里叶级数,离散时间傅里叶级数,连续时间傅里叶变换,离散时间傅里叶变换,4,随着今后进一步的讨论，我们可以看到CFS、DFS、CTFT、DTFT之间是完全相通的,与连续时间LTI系统一样，对由LCCDE或由方框图描述的LTI系统，可以由系统的频率响应函数，来进行系统的频域分析。其基本过程与连续时间LTI系统的情况也完全类似,5,本章主要内容傅立叶变换的模与相位LTI系统的幅频特性与相频特性，系统的失真系统的不失真传输条件理想滤波器的频域、时域特性及其不可实现性非理想滤波器的特性及其逼近方式一阶与二阶系统的分析方法，Bode图,第6章 信号
3、与系统的时域和频域特性,6,在时域，系统的特性由 或 描述在频域，系统的特性由 或 描述,工程中设计系统时，往往会对系统的特性从时域角度或频域角度综合考虑,6.0 引言 Introduction,对系统描述,7,本章的基本内容旨在建立对系统的时域和频域特性进行综合分析的思想和方法,系统的时域特性与频域特性是相互制约的(时频具有相反的关系)。在进行系统的分析与设计时，要权衡考虑系统的时域与频域特性,在LTI 系统分析中，由于时域中的微分(差分)方程和卷积运算在频域都变成了代数运算，所以利用频域分析往往特别方便,8,6.1 傅里叶变换的模和相位表示,无论CTFT还是DTFT，一般情况下都表现为一个
4、复函数,一个信号所携带的全部信息分别包含在其频谱的模和相位中,（The Magnitude-Phase Representation of the Fourier Transform）,模：频率成份 幅度,相位：频率起始位置,9,在工程实际中，不同的应用场合，对幅度和相位失真有不同的敏感程度，也会有不同的技术指标要求,信号失真：,幅度失真：由于频谱的模改变而引起的失真。各频率分量幅度产生不同程度的衰减相位失真：由于频谱的相位改变引起的失真。各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化,10,拼音“a”,相位保持模为1,模保持相位为0,声音,11,图像,相位
5、保持，模为1的图像,原始图像,模保持，相位为0的图像,12,6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示,LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面:1.改变输入信号各频率分量的幅度 2.改变输入信号各频率分量的相对相位,（The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems）,13,一.线性与非线性相位,波形未变仅有时延无失真,若C为整数，时域为时移其他无定义,信号通过一系统产生的相位变换=该系统的,线性相位，否则非线性相位,则,对连续时间LTI系统：,对离散时间LTI系统：,14,相位产生线性和非
6、线性相移，时域信号变化,15,二.信号的不失真传输条件,如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视为在传输中未发生失真,这就要求系统的频率特性为,全通系统：幅频特性是一个常数,模是常数,16,时域表征,据此可得出信号传输的不失真条件：,频域表征,17,三.群时延(Group Delay),系统的相位特性：信号的各个频率分量在通过系统时，系统对它所产生的附加相移,非线性相位，定义群时延为,线性相位 相位特性的斜率：该频率分量在时域产生的时延,很窄的频带内的有效公共延时,18,系统：非线性相位的系统,1.由 引起的幅度成形,系统对输入信号的影响：,输入信号：中心频率为 的窄带信号,系统在窄带内的相位
7、变化近似看成线性的,2.：系统在 的恒定相位影响因子,19,四.对数模与Bode图,Bode图：采用对数模特性来描述系统的频率特性,20,Bode图：,工程中广泛应用的有两种对数模：,单位：奈培（Np）,单位：分贝（dB）（decibel）,21,对离散时间系统，有效频率范围,不采用对数坐标，只采用对数模,Bode图不适用于幅频特性有零点或在某些频段上为零的系统零不能进行对数运算,两点需要注意的问题：,22,6.3 理想频率选择性滤波器,1.频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位）语音产生 等2.频率选择性滤波器（去除某些频率分量）理想低通、高通、带通等,（The Ideal Frequenc
8、y-Selective Filters）,一.滤波,通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波,滤波器可分为两大类：,23,二.理想频率选择性滤波器的频率特性,理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个(或几个)频段内，频率响应为常数，而其它为零,理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。,滤波器的通带(pass band)允许信号完全通过的频段阻带(stop band)完全不允许信号通过的频段,24,连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性,25,离散时间理想频率选择性滤波器的频率特性(周期),各种连续(离散)滤波器的特性都可以从理想低通特性而来离散时间理想
9、滤波器的特性在 区间上，与相应的连续时间滤波器特性完全相似,26,三.理想滤波器的时域特性,以理想低通滤波器为例,27,由傅里叶变换可得:,28,对离散时间理想低通滤波器有：,29,如果理想低通滤波器具有线性相位特性,则,30,理想低通滤波器的单位阶跃响应,令,31,由于,32,2.阶跃响应的上升时间tr与滤波器的截止频率B（带宽）成反比,B是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）,1.上升时间tr：输出由最小值到最大值所经历的时间,如果理想低通滤波器具有线性相位特性，则,33,对离散时间理想低通滤波器，相应有：,34,3.在工程应用中设计滤波器时，须对时域和频域特性进行折中,1.理想滤波
10、器是非因果系统物理不可实现,2.从频域滤波角度看，理想滤波器的频率特性是最佳的。但其时域特性的 或 无限长时域特性与频域特性并不兼容,从理想滤波器的时域特性可以看出：,35,6.4 非理想滤波器（The Nonideal Filters）,对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代价越大，系统的复杂程度也越高,由于理想滤波器是物理不可实现的，工程应用中就必须寻找一个物理可实现的频率特性去逼近理想特性，这种系统为非理想滤波器,非理想滤波器的频率特性以容限方式给出,36,37,通常将偏离单位增益的 称为通带起伏(或波纹)，称为阻带起伏(或波纹)，称为通带边缘，为阻带边缘，为过渡带,非理想低通滤波器的容
11、限,38,它们都从幅频特性出发逼近理想低通的模特性,工程实际中常用的逼近方式有：,1.Butterworth滤波器：通带、阻带均呈单调衰减，也称通带最平伏逼近,2.Chebyshev滤波器：通带等起伏阻带单调，或通带单调阻带等起伏,3.Cauer滤波器：（椭圆函数滤波器）通带、阻带均等起伏,39,2.包络时延Chebyshev滤波器：包络时延等起伏逼近,对同一种滤波器，阶数越高，对理想特性逼近得越好，过渡带越窄，但付出的代价是系统越复杂,从相位特性出发，逼近理想的线性相位特性有,1.Bassel滤波器：群时延最平伏逼近,3.Gauss滤波器:,40,对同样阶数的滤波器，从 Butterwort
12、hChebyshev Cauer，其幅频特性逼近得越来越好，但阶跃响应的起伏、超量和振荡也越厉害(体现了系统频域特性与时域特性的不兼容)。系统的复杂程度也越来越高，相应地，实现系统所付出的代价也越来越大,41,5阶Butterworth滤波器与5阶Cauer滤波器的比较,Cauer,42,单位阶跃响应：,Cauer,43,6.5 一阶与二阶连续时间系统,由LCCDE描述连续时间LTI系统，其频率响应为：,（First-Order and Second-Order Continuous-Time Systems）,其中：、均为实常数,44,此时，可通过对、因式分解，将其表示成若干个一阶或二阶有理
13、函数的连乘；或者通过部分分式展开，表示成若干个一阶或二阶有理函数相加,这表明：由LCCDE描述的LTI系统可以看成由若干个一阶或二阶系统通过级联或并联构成。因此，一阶和二阶系统是构成任何系统的基本单元。掌握一阶和二阶系统的分析方法就尤为重要,45,一.一阶系统:,模型：,46,可以看出：越小，上升得越快，系统失真越小,47,2.一阶系统的Bode图：,在对数坐标系下，它是一条直线，斜率为每10倍频程-20dB。可见，一阶系统的Bode图有两条直线型渐近线。称为折断频率,48,当 时，准确的对数模为,49,相频特性：,时，,时，,时，,50,将其折线化可得相位特性的直线型渐近线：,51,二.二阶
14、系统：,如：对RLC串联谐振电路,模型：,可列出电路方程,52,考察由弹簧、阻尼器、质量M组成的减震系统,（位移）,（牵引力）,分析受力,可列出方程,53,即,其中,由二阶系统的方程可得系统的频率响应：,称为阻尼系数，,称为无阻尼自然频率,54,1.时域特性冲激响应,时，系统处于无阻尼状态,当 时，、为共轭复根，系统处于欠阻尼状态,55,时，、为实数根，系统为过阻尼状态,56,57,当 时，,当 时,当 时（即欠阻尼状态），阶跃响应既有超量又有震荡 当 时，在没有超量的情况下，响应最快，即最短的上升时间；随着 的增加，响应越来越慢,1.时域特性阶跃响应,58,2.频率特性：,当 时，,当 时，
15、,59,在对数坐标中可用两条直线表示。一条是低频段的0dB线，一条是高频段的斜率为40dB/dec的直线。在 处，两条渐进线相交，因此 称为二阶系统的折转频率。,时，准确的对数模为：,60,时，幅频特性在 处出现峰值，峰值为 可以用于设计选频放大器，在某一较窄的频率范围内，对一些正弦信号提供放大。用品质因数Q来衡量峰值的尖锐程度：时，系统类似于一阶系统具有低通特性 时，随 的减小，逐步过渡为带通特性 时，系统具有最平坦的低通特性,61,相位特性：,62,可见 越小，相位的非线性越严重,63,三.有理型频率响应的Bode图：,这种频率特性的因子，与一阶、二阶系统的情况相比，其 存在倒量关系。即,
16、对于,64,6.6 一阶与二阶离散时间系统,一.一阶系统：,（First-Order and Second-Order Discrete-Time Systems）,由差分方程可得系统的频率响应：,系统的数学模型：,65,1.时域特性:,对频率响应做傅立叶反变换可得：,系统的单位阶跃响应为：,据此可作出不同参数情况下系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应：,66,67,68,由图可以看出：,当 时，随着 的增大，系统的单位脉冲响应单调衰减得越来越慢。单位阶跃响应单调上升得越来越慢,当 时，系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应都存在振荡。越大，振荡的持续期越长；单位脉冲响应衰减得越慢，单位阶跃响应上升得越
17、慢,69,2.频域特性:,由系统的频率响应可以得出：,据此可作出不同参数情况下一阶系统的幅频特性和相频特性：,70,71,72,二.二阶系统:,或 时，有两个不同的极点、,其中,73,为指数衰减的正弦振荡。系统为欠阻尼状态,单调变化，无振荡,时，,时，,系统为临界阻尼,系统为欠阻尼,影响衰减速率，影响振荡频率,74,系统的单位脉冲响应：,振荡最剧烈,75,76,系统的单位阶跃响应：,77,78,由图可以看出：,1.当系统处于欠阻尼状态时，即 时，系统的单位冲激响应和单位阶跃响应都存在振荡和超量。越接近，振荡的频率越高,2.在欠阻尼状态下，影响着单位冲激响应和单位阶跃响应的变化速率。越接近1，单
18、位冲激响应衰减得越慢，单位阶跃响应上升得越慢，出现的振荡也越明显,根据不同的 和 可作出系统的频率特性：,79,80,81,82,83,84,由图可以看出：,1.越大，幅频特性的峰越尖锐，系统的带宽越窄；越小，幅频特性越平坦，系统带宽越宽,3.系统具有非线性相位特性,总之：影响系统频响的峰值位置，影响峰值的大小，其作用分别类似于连续系统的 和,85,二阶系统也可以处在过阻尼状态，此时系统有两个实数极点。将 展开成部分分式有：,其中,此时相当于两个一阶系统级联。当 时，系统为过阻尼状态；当 时，系统为欠阻尼状态。其他情况，系统状态 将取决于绝对值大的极点（主时间常数）是正值还是负值,86,6.7
19、 系统的时域分析与频域分析举例,一.汽车减震系统:,类似于前面讨论过的二阶系统，其中,Examples of Time-and Frequency-Domain Analysis of Systems,系统模型为：,87,从频域看，越小，越有利于滤除路面不平所造成的影响。但 越小，时域特性变化越慢,88,从时域角度看，希望响应时间尽可能快，并且不要出现震荡和超量，因此应该要求，但 时，系统的频率特性并不是最佳,对系统的时域特性和频域特性综合折中考虑，是工程应用中很重要的问题,二.FIR滤波器：,离散时间滤波器可以分为IIR和FIR两大类,考察如下的动平均滤波器：,89,它是一个FIR系统，其频
20、率响应为：,更一般的情况，可加权的动平均滤波器可表示为：,选择不同的加权序列，即可改变滤波器的特性,90,91,92,加权动平均滤波器的窗函数序列：,93,该FIR滤波器的幅频特性（对数模）：,94,6.8 小结 Summary,介绍了滤波与滤波器的基本概念，理想频率选择性滤波器的频率特性和时域特性，理想滤波器的不可实现性，非理想滤波器的概念及工程中常用的逼近方式,从傅里叶变换的模和相位表示出发，研究了信号在传输中发生失真的原因和失真的种类。建立了信号传输的不失真条件,95,以汽车减震系统和动平均FIR滤波器为例，简单介绍了在工程应用中时域频域、幅频相频特性要折衷权衡考虑的思想,讨论了连续时间和离散时间一阶、二阶系统的时域和频域特性的分析方法，及连续时间一阶、二阶系统Bode图的绘制,
