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1、实用优化方法第2章线性规划：单纯形法,刘红英理学院数学系,线性规划：目标函数是线性的，约束条件是线性等式或不等式,线性规划,线性规划的历史,渊源要追溯到Euler、Liebnitz、Lagrange等George Dantzig,Non Neumann(Princeton)和Leonid Kantorovich在1940s创建了线性规划1947年,George Dantzig于发明了单纯形法1979年，L.Khachain找到了求解线性规划的一种有效方法(第一个多项式时间算法椭球内点法)1984年，Narendra Karmarkan发现了另一种求解线性规划的有效方法，已证明是单纯形法的强有力
2、的竞争者(投影内点法)现在求解大规模、退化问题最有效的是原对偶内点法,问题：确定食品数量，满足营养需求，花费最小？,变量：,n种食品，m种营养成份；第 j 种食品的单价,每单位第 j 种食品所含第 i 种营养的数量,食用第 j 种食品的数量,为了健康，每天必须食用第i 种营养的数量,模型：,例1.食谱问题,例2.运输问题,产销平衡/不平衡的运输问题,例3.目标值带绝对值的问题,假设：,事实：,转化为：,例4.其它应用,数据包络分析(data envelope analysis,DEA)网络流问题(Network flow)博弈论(game theory)等,线性规划的一般形式,线性规划的标准形
3、(分析、算法)*,标准形的特征：极小化、等式约束、变量非负,向量表示：,一般形式 标准形,称 松弛(slack)/盈余(surplus)变量,例5.化成标准形,定义 设B是A 的m个线性无关列组成的矩阵.置所有与B无关列对应的变量为零，称所得方程组的解是Ax=b的基本解(basic solution),称B是基(basis)；称与B对应的变量为基变量(basic variables),基本解与基变量(*),其中,基本可行解,定义 称 的非负基本解是标准形的基本可行解(basic feasible solution)；,例6.基本可行解及几何意义,基本可行解的个数不超过,线性规划的基本定理(*)
4、,i)若有可行解，则必存在基本可行解；,ii)若有解，则必有某个基本可行解是最优解.,考虑线性规划标准形，其中A是秩为m的mn阶矩阵，则以下结论成立：,与凸性的关系,线性规划的基本定理(标准形),凸性(凸集及性质),几何解释：连接集合中任两点的线段仍含在该集合中,性质,定义 是凸集(convex set)，如果对S中任意 两 点 x,y 和(0,1)中的任一数 满足,一些重要的凸集,注：任一线性规划的可行集是多面集！,超平面(hyperplane):,正/负闭半空间：,极点,几何上：极点即不能位于连接该集合中其它两点的开线段上的点,极点与基本可行解的等价性定理,推论：,i)若K非空，则至少有一
5、个极点.,ii)若线性规划有解，则必有一个极点是最优解.,iii)K的极点是有限集.,例2.,例1.,例3.,Subject to,线性规划问题解的几种情况,线性规划解的几何特征,唯一 解(顶点)！,无(下)界,线性规划解的几何特征,无界：没有有限最优解不可行：没有可行解,可行集：多边形(二维),多边集(高维空间),给出有效的代数刻画和严谨的几何描述，从理论上证实上述几何特征，并寻求有效算法,有解：唯一解/多个解(整条边、面、甚至整个可行集),单纯形法简介,适用形式：标准形(基本可行解=极点)理论基础：线性规划的基本定理！基本思想：从约束集的某个极点/BFS开始，依次移动到相邻极点/BFS，直
6、到找出最优解，或判断问题无界.,初试化：如何找到一个BFS？判断准则：何时最优？何时无界？迭代规则：如何从一个极点/BFS迭代到相邻极点/BFS？,1.转轴(基本解相邻基本解),满秩假定：A是行满秩的,规范形(canonical form),规范形的转换问题,什么时候可以替换？,替换后新规范形是什么？,替换问题,假设在上述规范形中，想用,转轴(pivot),当且仅当，可以替换,替换后，新规范形的系数,例1.求下列方程组以 为基变量的基本解,x=(0,0,0,4,2,1),如何得到第一个规范形,以下运算同例1!,例2.利用转轴解方程组,为了得到第一个规范形，形成增广表格,2.BFS相邻BFS(极
7、点相邻极点),问题：,确定出基变量，使转轴后新规范形对应BFS？,设x是BFS,且规范形如前，且假设 aq 进基,因为,所以,确定离基变量,至少有一个正元,例3.考虑线性方程组,a4进基,B=(a1,a2,a3)X=(4,3,1,0,0,0),a1进基,x=(0,1,3,2,0,0),3.BFS目标值减小的相邻BFS,将Ax=b的任一解用非基变量表示；,设x是BFS，且规范形如前，则有,相对/既约费用系数(relative/reduced cost coefficients),将 Ax=b 的任一解 x 用非基变量表示为,确定进基变量,最优性定理,定理(BFS的提高),相对费用系数的经济解释！
8、(合成价格、相对价格),退化基本可行解：某个或某些基变量取零的基本可行解！,问题：基本可行解与基的对应关系？,4.计算过程单纯形法,单纯形表：BFS对应规范形的表格 既约费用系数和BFS目标值的相反数,单纯形表可以提供计算所需的所有信息！,如何得到第一张单纯形表,用转轴运算(初等行变换)将最后一行与基变量对应的元素化为零，即得第一张单纯形表！,初始表格：BFS对应规范形的表格c 0,例1.,化标准形,得标准形的初始表格/第一张单纯形表,0-2-4-27/5,最优解：,单纯形法的步骤,步0 形成与初始BFS对应的初始表格.通过行变换求出第一张单纯形表.,步1 若对每个 j 都有，停；当前BFS是
9、最优的.,步2 选取 q 满足,步4 以 为转轴元进行转轴，更新单纯形表，返步1.,步3 若，停，问题无界；否则，选 p 满足,转轴规则：进基变量：最小相对费用系数规则；出基变量：最小指标规则！,单纯形法的收敛性,非退化线性规划：任一基本可行解非退化,5.如何启动单纯形法人工变量,给有需要的行乘以-1，使得 b0,方法,得到原问题的基本可行解,z*0，无可行解！,z*=0，有可行解！,基变量中无人工变量x 是BFS，B 是对应的基,例1.,给出下面系统的一个基本可行解，或者说明其无解,辅助问题的初始表格！,第一张单纯形表,第二张单纯形表,辅助问题的最优值是0.,原问题的BFS：,例2.,利用两
10、阶段法求解下面的问题,辅助问题的最后一张单纯形表,原问题的初始表格：,原问题的最优解：,两阶段法可求任一线性规划问题,第I阶段：启动单纯形法 构造、求解辅助问题 判断原问题不可行、或可行 可行时找到基本可行解及对应规范形 第II阶段：利用单纯形法求原问题 从上述BFS出发，求解所给问题 原问题无界或者有解,退化(degenerate)与循环(cycling),退化问题,单纯形法可能出现循环！实际中经常碰到退化问题，但很少出现循环 避免出现循环的措施：摄动法、Bland法则、字典序法,基本可行解是退化的当且仅当单纯形表最后一列有一个或者多个零！一次转轴是退化的当且仅当目标函数没有发生变化！,最小
11、系数规则：,进基变量：最小系数规则 出基变量：最小指标规则,循环,定义：从某张单纯形表开始返回到该单纯形表的一串转轴,转轴规则：选取进基变量和离基变量的明确规则(可以选时！),循环！,注：循环转轴序列中所有BFS都是退化的！是同一个BFS！,第七张单纯形表,避免循环的方法,能进基的变量(使目标值减小)中选指标最小者进基,摄动法(Dantzig，1954年),Bland法则(Bland,1977)最小指标法则,字典序法(Orden和Wolfe，1954年),能出基的变量(保持可行)中选指标最小者出基,美好愿望：构造某种永远不会产生循环的转轴规则！,前四张单纯形表相同！,利用Bland法则作为转轴
12、规则求解Beale的例子！,最后一张单纯形表/最优单纯形表,退化的线性规划退化的基本可行解(几何解释),对于标准形而言，当极点仅对应一个基时，是非退化的；当极点对应多个基时，是退化的。,6.单纯形法的矩阵形式,给定基 B 及对应BFS(xB,0),其中xB=B-1b,用非基变量表示目标函数：,用非基变量表示基变量：,初始表格单纯形表,初始表格通常不是单纯形表！,与基矩阵 B 对应的单纯形表,7.修正单纯形法(Revised simplex method),重要事实：,通常仅有少数列发生转轴(2m-3m),核心问题：,如何更新当前基的逆新基的逆,仅需原始数据(c,A,b)和基 B 的逆矩阵,修正
13、单纯形法的计算步骤,步2 选取 q 满足,步3 计算 yq=B-1aq；若,步1 计算。如果 停；得最优解.,步0 给定BFS及对应的B-1。计算,核心计算：B-1,涉及到的计算：,，停，问题无界；否则，选 p 满足,步4 更新 B-1,B-1b和，返步1.,基的转换定理,左乘该矩阵等价于对矩阵进行初等行变换！,相关数据的更新初等行变换,设转轴元是，即 aq 出基，ap进基,以为转轴元，转轴后即得新基对应的数据！,例1 求解例,a2进基，计算y2.计算表格如下：,计算,a1进基，计算y1.得如下表格：,最优值：,最优解：,问题.设用单纯形法求解标准形式的LP时得到如下 单纯形表.还假设矩阵A的后三列形成单位矩阵,1.给出由该表描述的当前基是最优的充分必要条件(依照表中的系数).2.假设该基是最优的且.找出另外一个最优基本可行解，其与该表所描述的不同.,假定与当前表所联系的基是最优的假设将原问题中的，给出使基保持最优的 的范围.假设将原问题中的，给出使基保持最优的 的范围,问题.设用单纯形法求解标准形式的LP时得到如下 单纯形表.还假设矩阵A的后三列形成单位矩阵,
