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1、波形估计,信号的被估计参量是随机过程或随机的未知过程，则为波形估计。波形估计是动态估计，信号的参数是随时间变化的。给定有用信号的加性噪声的混合波形，寻求一种线性运算作用于此混合波形，得到的结果是信号与噪声的最佳分离，最佳的含义就是使估计的均方误差最小。,线性滤波器,=0，则为滤波。0，则为预测（外推）。0，则为平滑（内插）。,例1:设信号为S(t)为均值为零的平稳随机过程。求 的估计,解:采用线性最小均方误差估计,最小,由正交原理,则,估计误差的方差为,例2:设信号为S(t)为均值为零的平稳随机过程。用 及其导数 对 进行预测。,解:,由线性最小均方误差估计和正交原理,由于,由于,例3：考虑平
2、滑问题，已知观测波形在两个端点的数据S(0)和S(T)，估计（0，T）区间内任意时刻t的信号S(T)。,解:,由线性最小均方误差估计和正交原理,一、维纳滤波,维纳滤波器就是在最小均方误差标准下的最佳滤波器。,或,式中,为冲击响应。,为加权函数。,在宽平稳随机过程情况下：,我们考虑的是LTI（线性时不变系统），系统参数与时间无关。即,误差,均方误差,寻求维纳滤波器的问题就归结为求使 达到最小值的线性系统的加权函数。,用变分法解决：以受扰加权函数 代替,对 求导，并令 时该导数为0。,得,非因果解：,作拉普拉斯变换,当信号与噪声不相关：,最小均方误差为：,当信号与噪声不相关，且=0时：,信号与噪声
3、的功率谱在频域上重叠越少,滤波效果就越好。,例1、如信号谱为,噪声谱为,求出最佳的非因果滤波器（=0）。,解：,例2、,与 均值为零，互不相关,设计一个维纳滤波器 的冲击响应,解：,因果解：,频域解法：,已知输入和输出谱函数,或,而功率谱 与相关函数 的关系为：,如,则,对 的解，应有,例3、如信号谱为,噪声谱为,求出最佳的因果滤波器（=0）。,解：,二、卡尔曼滤波,特点：1、采用最小均方误差准则。2、放弃用冲击响应和系统函数描述线性系统。3、用状态变量描述线性系统。4、用正交原理代替维纳-霍夫方程。5、用递推快速求解。,卡尔曼滤波不需要全部过去的观测数据，它只是根据前一个估计值 和最近一个观测值 来估计信号的当前值。卡尔曼滤波器用递推公式计算估计值：,其中，和 由正交原理确定，以保证 是均方误差最小。,
