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1、2.2 冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t),例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。,解 根据h(t)的定义 有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=(t)h(0-)=h(0-)=0 先求h(0+)和h(0+)。,因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含(t)，h(t)含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得 h(0+)-h(0-)+5h(0+)-h(0-)+6=1,考虑h(0
2、+)=h(0-)，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0,h(0+)=1+h(0-)=1对t0时，有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以 h(t)=(e-2t-e-3t)(t),例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应h(t)。,解 根据h(t)的定义 有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)(1)h(0-)=h(0-)=0 先
3、求h(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含(t)故令 h(t)=a(t)+p1(t)pi(t)为不含(t)的某函数 h(t)=a(t)+b(t)+p2(t)h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)代入式(1)，有,a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)+5a(t)+b(t)+p2(t)+6a(t)+p1(t)=”(t)+2(t)+3(t),整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c+5b+6a)(t)+p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)=”(t)+2(t)+3(t),利用(t)系数匹配，得 a=1，b=-3，c=12所以 h(t)=(t)+p1(t)（2）h(
4、t)=(t)-3(t)+p2(t)（3）h”(t)=”(t)-3(t)+12(t)+p3(t)（4）,对式(3)从0-到0+积分得 h(0+)h(0-)=3对式(4)从0-到0+积分得 h(0+)h(0-)=12故 h(0+)=3，h(0+)=12,微分方程的特征根为 2，3。故系统的冲激响应为 h(t)=C1e2t+C2e3t，t0代入初始条件h(0+)=3，h(0+)=12求得C1=3，C2=6,所以 h(t)=3e2t 6e3t,t 0结合式(2)得 h(t)=(t)+(3e2t 6e3t)(t),对t0时，有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=0,二、阶跃响应,g(t)=T(t)，0,由于(t)与(t)为微积分关系，故,例3 如图所示的LTI系统，求其阶跃响应及冲激响应。,解：,（1）列写系统的微分方程,（2）求阶跃响应,（3）求冲激响应,验证结论（解法II）：,
