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1、第4章 离散时间信号的分析,4.1 连续时间信号的时域抽样,4.2 离散时间信号的z域分析,4.3 离散信号的傅里叶分析,第4章 离散时间信号的分析,信号分析与处理,第4章 离散时间信号的分析,数字信号处理是用数值计算的方法对信号进行处理的一门科学。离散时间信号处理技术可以实现连续时间信号处理技术，而且还可以实现原来连续时间系统不可能实现的功能。为了对连续信号进行处理，必然要先把连续时间信号转换为离散时间信号，如果需要还要把离散时间信号转换为连续时间信号。本章将对连续时间信号的时域采样和恢复问题进行较详细的讨论。离散时间信号的分析也像连续时间信号的分析一样，包括时域分析、频域分析和复频域分析。
2、在时域内分析信号是将离散时间信号表示成单位脉冲信号的加权和。在复频域分析信号则是将离散时间信号表示为复指数信号（这里）的加权和，从而引入了Z变换。在频域内分析信号是将离散时间信号表示为虚指数信号的加权和，这就是离散信号的傅里叶分析，它包括非周期信号的离散时间傅里叶变换DTFT和周期信号的离散傅里叶级数DFS。,4.1 连续时间信号的时域抽样,用数字信号处理技术处理模拟信号需要将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。问题是：采样信号的频谱能否反映原模拟信号的频谱？如何将数字信号恢复为模拟
3、信号？本节主要从理论上回答这两个问题，介绍采样定理和采样恢复。,4.1.1 采样定理,1.周期单位冲激串的傅里叶变换,第4章 离散时间信号的分析,1）定义：周期单位冲激串：把位于t=0处的单位冲激函数以T周期延拓。（狄拉克梳状函数或理想采样函数）,p(t)是周期函数，可以表示成傅立叶级数，即,采样角频率，单位是弧度/秒,4.1 连续时间信号的时域抽样,4.1.1 采样定理,1.周期单位冲激串的傅里叶变换,2）傅立叶级数,即,上式表明，单位冲激函数串的傅里叶级数中，只包含位于,处的频率分量，每个频率分量的大小相等且都等于,p(t)的傅里叶变换为,4.1 连续时间信号的时域抽样,4.1.1 采样定
4、理,1.周期单位冲激串的傅里叶变换,3）傅立叶变换,p(t)的傅里叶级数pk及傅里叶变换P()如图4-1(b)和(c)所示。单位冲激函数串的傅里叶变换是强度等于0的冲激串。,图4-1 单位冲激函数串的傅里叶级数与傅里叶变换,2、理想采样信号的频谱,1）理想采样信号的数学描述：如图4-2所示，p(t)为单位冲激函数串，x(t)为连续时间信号，它们的乘积xs(t)=x(t)p(t)称为x(t)的采样信号，xs(t)中各冲激强度构成的序列则为x(t)在t=nT时刻的样本xa(nT)。,4.1 连续时间信号的时域抽样,4.1.1 采样定理,图4-2 理想采样,对上式两边取傅里叶变换，根据频域卷积定理,
5、为采样间隔，采样角频率为,4.1.1 采样定理,4.1 连续时间信号的时域抽样,2）理想采样信号的频谱,2、理想采样信号的频谱,采样信号的频谱是原模拟信号的频谱的周期性延拓。,图4-3 采样信号的频谱,1）频谱混叠：当 s/2M时，这种情况下采样信号的频谱完整的保留了的频谱，不会发生频谱重叠。当 s/2M时，频谱发生混叠，在这种情况下无法用滤波器无失真地恢复原信号x(t)。,如何避免频谱混叠：s 2 M,图4-4 频谱的混叠,3.采样定理,4.1.1 采样定理,4.1 连续时间信号的时域抽样,为满足采样定理，采样前加预滤波电路，消除高于s/2的频率，使 xa(t)为有限带宽信号。,2）采样定理
6、：若要把一个信号从其采样信号中无失真的恢复出来，首先被采样信号是带限信号，其次是采样信号 s必须大于被采样信号中最高频率 M的两倍。称最小采样频率smin=2 M 为奈奎斯特（Nyquist）频率，,4.1.1 采样定理,4.1 连续时间信号的时域抽样,3.采样定理,4.1.2 信号的内插恢复(将数字信号转换成模拟信号),当满足采样定理时，由采样信号得到模拟信号，只需经过一个低通滤波器，把周期性的重复部分滤除掉即可。理论分析如下：,1)理想低通滤波器的频率特性为,式中c是滤波器的通带频率，TS为采样间隔。,4.1 连续时间信号的时域抽样,若取,，滤波器的冲激响应为,4.1.2 信号的内插恢复,
7、4.1 连续时间信号的时域抽样,2)理想低通滤波器的时域函数,上式表明，由无穷多用x(nT)加权的内插函数移位后的和，即可重建出原模拟信号。,由时域卷积定理得：,4.1.2 信号的内插恢复,4.1 连续时间信号的时域抽样,3)信号通过理想低通滤波器的输出,图4-5 由抽样信号恢复原信号,4.1.2 信号的内插恢复,4.1 连续时间信号的时域抽样,4.1.3 实际采样与理想采样的差别,理想周期单位冲激串p(t)是一个不可实现的信号，这是因为采样需要花费时间，因此实际采样是用图4-7所示的脉宽为、振幅为A的矩形脉冲串代替p(t)。,图4-7 脉冲串抽样,4.1 连续时间信号的时域抽样,图4-8 矩
8、形脉冲抽样序列及其抽样信号的频谱,若信号x(t)是带限的，最高频率为M，采样函数为周期脉冲串，且采样频率也满足S2M的条件，这种情况下X()在延拓的过程中加权系数不为恒定值，而是逐渐衰减，如图4-8所示。但这种情况下也能够无失真地恢复原信号x(t)。,4.1 连续时间信号的时域抽样,4.1.3 实际采样与理想采样的差别,4.1.4 离散时间信号的表示形式,1.直接表示法,1)集合表示法：逐个列出x(n)的序列值,2）函数表示法：x(n)可以写成一般闭合形式的表达式，例如,4.1 连续时间信号的时域抽样,3）图形表示法,图4-10 序列的图形表示,2.单位样值序列加权和表示,1）单位样值序列用(
9、n)表示，定义为,4.1.4 离散时间信号的表示形式,4.1 连续时间信号的时域抽样,2）右移m点的单位样值序列（如图4-12所示）为,图4-11 单位样值序列 图4-12 右移m点的单位样值序列,3)考虑所有样点，序列x(n)可表示为,上式说明，任一序列可用不同加权并移位的样值序列表示。例如，序列,也可表示为,4.1.4 离散时间信号的表示形式,4.1 连续时间信号的时域抽样,2.单位样值序列加权和表示,在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程与卷积和转换为代数方程。,4.2 离散时间信号
10、的z域分析,4.2.1 z变换的定义,1.抽样信号的拉氏变换,取样信号xS(t)可写成连续时间信号x(t)乘以冲激序列，即,取上式的双边拉氏变换，考虑到,得,第4章 离散时间信号的分析,2.双边z变换：,上式是复变量z的函数。,3.单边z变换：,令,，或,，则,这样拉普拉斯变换式就可以变成另一复变量z的变换式，即,当定义式中n的取值范围为 n0时,双边z变换的定义式就变成了单边z变换的定义式了。,4.2 离散时间信号的z域分析,4.2.1 z变换的定义,1.z变换存在的条件,z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即,时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列x(n)的z
11、变换存在的充分必要条件。,2.z变换的收敛域,1)定义：满足存在条件的所有z值组成的集合称为z变换的收敛域。简记为ROC（Region of Convergence）。,4.2.2 Z变换的收敛域,4.2 离散时间信号的z域分析,2）举例：试根据Z变换收敛域的定义指出下列序列的收敛域。,(1),(2),解：根据等比级数的求和方法，可求得序列的Z变换为,X1(z)的ROC为,，即,4.2.2 Z变换的收敛域,4.2 离散时间信号的z域分析,X2(z)的ROC为,，即,2.z变换的收敛域,要描述一个序列的Z变换，必须包括Z变换的表达式和Z变换的收敛域ROC两个部分。由上例可以看出，同一个z变换函数
12、，收敛域不同，其对应的序列是不相同的。,2.z变换的收敛域,3）结论,4.2.2 Z变换的收敛域,4.2 离散时间信号的z域分析,3 序列特性对收敛域的影响,可以看出因果序列的收敛域包括z=点。,n10时，00时，0|z|,1.有限长序列,收敛域表示如下：,2）.右边序列 右边序列是在nn1时，序列值不全为零，而nn1时，序列值全为零的序列。,n10，其收敛域为r1|z|(2)n10，收敛域为r1|z|。,4.2.2 Z变换的收敛域,4.2 离散时间信号的z域分析,3 序列特性对收敛域的影响,3.左边序列 左边序列是在nn2时，序列值不全为零，而在nn2，序列值全为零的序列。左边序列的z变换表
13、示为,(1)n20，收敛域为0|z|r2。(2)如果n2 0,收敛域为0|z|r2。,4.双边序列 一个双边序列可以看作一个左边序列和一个右边序列之和，,若z变换存在，其收敛域为r1|z|r2，这是一个环状域。也可能X(z)不存在（r2 r1）,4.2.3 常用序列及其Z变换,1.单位脉冲序列(n)（也称为单位采样序列）,4.2 离散时间信号的z域分析,根据双边Z变换的定义式,(a)单位脉冲序列；(b)单位冲激信号,2.单位阶跃序列(n),2）(n)与(n)的关系:,(n)=(n)(n-1),图4-13 单位阶跃序列,反因果阶跃序列(-n-1)如图4-14所示。,图4-14 反因果阶跃序列,单
14、位阶跃序列(n)如图4-13所示。,4.2.3 常用序列及其Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,1）定义,3）单位阶跃序列(n)的z变换：,2.单位阶跃序列(n),4.2.3 常用序列及其Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,3.矩形序列RN(n),N称为矩形序列的长度。当N=4时，R(n)的波形如图所示。,2）矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：,1）定义,3）矩形序列RN(n)的Z变换为,4.指数序列,(1)实指数序列,，a为实数,如果|a|1，x(n)的幅度随n的增大而增大，则称为发散序列。,单边实指数序列的Z变换为,4.2.3 常用序列及其Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析
15、,3.矩形序列RN(n),式中0 为数字角频率，当=0时，称为虚指数序列，虚指数序列是以2为周期的周期序列:,(2)复指数序列,单边虚指数序列的Z变换:,4.2.3 常用序列及其Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,4.指数序列,式中称为正弦序列的数字角频率，单位是弧度。,5.正弦序列,因此，数字角频率与模拟角频率之间的关系为,2)数字角频率与模拟角频率之间的关系,1)定义,4.2.3 常用序列及其Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,（2）正弦序列是周期序列的条件,（1）周期序列的定义为：如果存在一个最小的正整数N，使序列x(n)=x(n+N)，-n，则序列x(n)是周期序列，周期为N。
16、,设任意正弦序列为,显然，满足 0N=2k时，x(n)=x(n+N)，正弦序列为周期序列，N、k为正整数。因此，正弦序列是周期序列的条件是：2/0=N/k为有理数（整数和分数）。,4.2.3 常用序列及其Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,5.正弦序列,3）正弦序列的周期性,1）当2/0为整数时，k=1，正弦序列是以2/0为周期的周期序列。例如sin(/8)n，0=/8，2/0=16，该正弦序列周期为16。2）当2/0为分数时，设2/0=N/k，式中N、k是互为素数（意思是不可约分）的正整数，则正弦序列是以N为周期的周期序列。例如sin(3/7)n，0=3/7，由于2/0=14/3为有理数
17、，故它的周期为N=14。3）当2/0是无理数（不循环的无限小数），任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。,4.2.3 常用序列及其Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,5.正弦序列,3）正弦序列的周期性,1.线性,4.2.4 Z变换的性质,设 x(n)X(z),Rx-|z|Rx+y(n)Y(z）,Ry-|z|Ry+m(n)=ax(n)+by(n)则 M(z)=aX(z)+bY(z),R m-|z|R m+Rm+=min Rx+,Ry+Rm-=max Rx-,Ry-,其收敛域是X(z)与Y(z)收敛域的公共部分。,4.2 离散时间信号的z域分析,例4-2 求序列,的Z
18、变换。,解,收敛域,4.2.4 Z变换的性质,4.2 离散时间信号的z域分析,例4-3 求单边余弦序列,和单边正弦序列,的Z变换。,解 余弦和正弦序列可分别用复指数序列表示为,由于复指数序列的Z变换为,4.2.4 Z变换的性质,4.2 离散时间信号的z域分析,则余弦序列的Z变换为,即,同理可求出正弦序列的Z变换为,2.移位（移序）特性,对于因果序列 设x(n)X(z)，r1|z|r2 则x(n-n0)z-n0 X(z)，r1|z|r2,利用此性质，可以把时域的差分方程变换为z域的代数方程，可以大大简化计算。,4.2 离散时间信号的z域分析,x(n-1)z-1 X(z),x(n-2)z-2 X(
19、z),x(n-3)z-3 X(z),4.2.4 Z变换的性质,例4-4 已知,，利用移位性质求,和,的Z变换。,解,样值序列与阶跃序列的关系为,对上式两边取Z变换，由于,，,，故,则,根据移位性质,4.2.4 Z变换的性质,4.2 离散时间信号的z域分析,3.z域微分性质（序列乘以n）,若 x(n)X(z)，r1|z|r2,，r1|z|r2,4.2.4 Z变换的性质,4.2 离散时间信号的z域分析,例4-5 已知,，求序列,的Z变换。解 利用z域微分性质可得,当a=1时，,即为斜变序列,，因此,4.z域尺度变换,设 x(n)X(z)，r1|z|r2,|a|r1|z|a|r2,则,5.时域卷积定
20、理,设 w(n)=x(n)*h(n)x(n)X(z)，R x-|z|R x+h(n)H(z),R h-|z|R h+,则 W(z)=X(z)H(z)，Rw-|z|Rw+Rw+=min Rx+,Rh+Rw-=maxRx-,Rh-,4.2.4 Z变换的性质,4.2 离散时间信号的z域分析,例4-6 求下列两个单边指数序列的卷积。,解 由于,应用卷积定理得,把Y(z)展开成部分分式，得,其逆变换则为,4.2.4 Z变换的性质,4.2 离散时间信号的z域分析,4.2.5 逆Z变换,式中c为收敛域中的一条逆时针绕原点的闭合曲线。,逆Z变换,Z变换,求逆z变换的方法有：留数法、幂级数展开法和部分分式展开法
21、等。,4.2 离散时间信号的z域分析,1.幂级数展开法,根据z变换的定义,如果将X(z)写成幂级数。其系数就是相应的序列值。,右序列对应负幂级数z-1，左序列对应正幂级数z。,例4-7 设X(z)=3z-1+5z-3-2z-4，求x(n)。,解 x(n)为移位样值序列的和，由下式给出,该序列也可表示为,4.2.5 逆Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,许多序列的Z变换X(z)通常可以表示为如下形式的有理函数,式中，ai、bi为实系数。当X(z)的分子的次数M小于等于分母的次数N时，用长除法将分子除以分母可得z的负幂级数，进而可求得x(n)。,如果收敛域是|z|r1，即x(n)是右边序列(因
22、果序列)，X(z)应展成z的负幂级数，则N(z)和D(z)要按照z的降幂（或z-1的升幂）次序进行排列。,如果收敛域是|z|r2，即x(n)是左边序列，X(z)应展成z的正幂级数，则N(z)和D(z)要按照z的升幂（或z-1的降幂）次序进行排列。,4.2.5 逆Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,1.幂级数展开法,（2）长除法,例4-8 求,的逆变换。其收敛域分别是|z|2和|z|1。,解（1）收敛域|z|2，是因果序列。将X(z)的分子和分母按z的降幂排列，用长除法有,4.2.5 逆Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,1.幂级数展开法,（2）长除法,则,（2）收敛域|z|1，是反因果
23、序列。,将X(z)的分子和分母按z的升幂排列，即,4.2.5 逆Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,1.幂级数展开法,（2）长除法,例4-8：,4.2.5 逆Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,1.幂级数展开法,（2）长除法,则,利用幂级数展开法求解逆Z变换，方法比较直观和简单，但有时难以归纳出x(n)的闭式解。,4.2.5 逆Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,2.部分分式展开法,按留数法求系数A0,A1，A2,将X(z)展成一些简单的逆变换已知的部分分式的和，通过查表求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。,4.2.5 逆Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,步骤（1）,步骤（1）,（2）,（3）,查表取逆变换得 x(n),解 先把X(z)写成z的正幂形式,例4.9,4.2.5 逆Z变换,4.2 离散时间信号的z域分析,2.部分分式展开法,取逆变换得,
