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1、信号的傅里叶分析,傅里叶,“An arbitrary function,coutinous or with discontinuities,defined in a finite interval by an arbitrarily capricious graph can always be expressed as a sum of sinusoids”,J.B.J.Fourier,Fourier,Jean Baptiste JosephFrench baron,physicist,mathematician1768-1830Cooley,Tukey:FFT in 1965,傅里叶,傅里叶
2、最主要的两个贡献：“周期函数都可以表示成为谐波关系的正弦函数的加权和”傅里叶的第一个主要论点，即傅里叶级数“非周期函数都可以用正弦函数的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点，即傅里叶变换,傅里叶分析,1,2,3,4,傅里叶级数,傅里叶变换,离散傅里叶变换,总结,周期信号的傅里叶级数,按“三角函数形式”展开：,各参数分别为：,上式可进一步表示为,周期信号：,周期信号的傅里叶级数,并非任意的周期信号都能进行傅里叶级数展开充分条件：狄利克雷（Dirichlet）条件在一周期内，只存在有限个间断点在一周期内，只存在有限个极大值和极小值在一周期内，信号是绝对可积的,工程中的信号都满足上述条件,所有周期信
3、号都能进行傅里叶级数展开吗？,例：周期性三角波的傅里叶级数,周期信号的傅里叶级数举例,解：,周期信号的傅里叶级数举例,因此，有：,周期信号的傅里叶级数举例,三角函数形式展开：复指数函数形式展开：周期T内，n次谐波的幅值按下式计算，称为傅里叶系数：,周期信号的傅里叶级数,如何理解傅里叶系数的物理含义？,待分析信号,傅里叶级数的本质,知识回顾：内积,傅里叶级数-内积表示,待分析信号,“滤波镜片”,5Hz,2 Hz,x(t).*cos(2ft)=-5.7e-15,1 Hz,x(t).*cos(2ft)=-8.8e-15,傅里叶级数的本质,5 Hz,5 Hz,原始信号,滤波镜片的信号,4 Hz,x(t
4、).*cos(2ft)=-2.2e-14,3 Hz,x(t).*cos(2ft)=-4.6e-14,傅里叶级数的本质,5 Hz,5 Hz,4.8 Hz,x(t).*cos(2ft)=74.5,5 Hz,x(t).*cos(2ft)=100,傅里叶级数的本质,5 Hz,5 Hz,当“滤波镜片”的频率与原始信号频率完全吻合时，计算结果达到最大,5.2 Hz,x(t).*cos(2ft)=77.5,6 Hz,x(t).*cos(2ft)=1.0e-14,傅里叶级数的本质,5 Hz,5 Hz,傅里叶级数的本质,时域图,频谱的定义：将信号x(t)的傅里叶系数Cn称为信号x(t)的频谱系数（Spectra
5、l Coefficients），简称频谱（Spectrum）。周期信号的频谱:周期信号中各次谐波的幅值An和相位n随频率n0的变化关系，一般为双边谱，若n0，称为单边谱，,典型周期信号的谱图,幅值谱,相位谱,典型周期信号的谱图,周期矩形脉冲信号：,幅值谱：,相位谱：,典型周期信号的谱图,周期锯齿波：,幅值谱：,相位谱：,周期信号的频谱特性,离散性：每条谱线代表一个频率分量谐波性：谱线出现在基波的整数倍频率上收敛性：总体上，谐波次数越高，谐波分量越小,叠加后得到,离散性：每条谱线代表一个频率分量谐波性：谱线出现在基波的整数倍频率上收敛性：总体上，谐波次数越高，谐波分量越小,周期信号的频谱特性,对
6、于复杂周期信号：周期的确定根据各频率值的最大公约数的倒数来确定,周期信号的频谱特性,离散性：每条谱线代表一个频率分量；谐波性：谱线出现在基波的整数倍频率上收敛性：总体上，谐波次数越高，谐波分量越小,信号的中高次谐波分量很小，所以其对信号波形的影响很小，有时可以忽略。在一定的误差范围内，只考虑有限的频率分量：从0频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频段称为信号的频带宽度.,周期信号的频谱特性,吉布斯现象,如图所示方波，可分解为：,周期信号的频谱特性,吉布斯现象,选取第一项傅里叶级数,前两项傅里叶级数叠加,周期信号的频谱特性,吉布斯现象,前四项傅里叶级数叠加,不同级数项合成比较,选取的傅里叶级数
7、的项数越多，在合成的波形中出现的峰起越靠近周期信号的不连续点选取项数N很大时，该峰起值趋于常值，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去,傅里叶级数小结,针对连续周期信号的分析可进行“三角函数”和“复指数形式”的展开傅里叶级数的本质：可获得幅值谱和相位谱频谱特征：离散性、谐波性、收敛性吉布斯现象,傅里叶分析,1,2,3,4,傅里叶级数,傅里叶变换,离散傅里叶变换,总结,傅里叶级数 傅里叶变换,T,变为非周期信号,w0，所包围面积F0，则意味频谱变连续,连续时间周期信号,连续时间非周期信号,离散频谱,连续频谱,傅里叶级数,傅里叶变换,傅里叶级数 傅里叶变换,谐波正弦/加和,频谱离散,非全谐波
8、正弦/积分,频谱连续,傅里叶正变换（分解公式）：傅里叶反变换（合成公式）：以上两式称为傅里叶变换对，记作,傅里叶变换,设线性性质 时移性质频移性质 翻转性质共轭性质,傅里叶变换的性质,尺度变换性质 对偶性质微分性质 积分性质Parseval定理其中 为能量谱密度，简称能量谱，只与信号的幅度谱有关，与相位谱无关。,傅里叶变换的性质,尺度变换示意图,单位脉冲信号的傅里叶变换 单位直流信号的傅里叶变换,典型信号的傅里叶变换,典型信号的傅里叶变换,矩形脉冲,周期脉冲序列,傅里叶变换小结,傅里叶分析,1,2,3,4,傅里叶级数,傅里叶变换,离散傅里叶变换,总结,连续时间信号的离散化：数字计算机和大规模集
9、成电路的高度发展，为信号处理提供了强有力的技术手段。为了借助于这些手段，进行连续信号的分析，首先需要将连续信号经过采样变成离散信号，即信号的离散化。,离散傅里叶变换,如何使信号离散化？,在时域对连续时间信号进行冲击串采样，可以实现时域信号的离散化。,离散傅里叶变换 采样定理,在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号采样所得到的样本序列不能唯一地确定原来的连续时间信号。对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会得到不同的样本序列。,在T的整倍数时刻点上具有相同值的三个连续时间信号,离散傅里叶变换 采样定理,在时域对连续时间信号进行冲击串采样，就相当于在频域将信号的频谱以采样间隔进行周期延拓。,
10、采样频率；,信号频率；,离散傅里叶变换 采样定理,离散傅里叶变换 采样定理,离散傅里叶变换 采样定理,要使采样后的信号能完全代表原来的信号，要求在周期性延拓时不能发生频谱的混叠。为此必须要求:X(t)必须是带限的，最高频率分量为fm。必须保证采样频率 fs 2fm。在工程实际应用中，理想滤波器是不可实现的。而非理想滤波器一定有过渡带，因此实际采样时,必须fs2fm，一般取fs=(2.564)fm,信号最高分析频率,采样频率,离散傅里叶变换 采样定理,采样频率fs越高，采样点越密，所获得的数字信号越逼近原始信号fs 越高，数据量就越大，所需存储量和计算量也越大fs 太小，不能满足采样定理，则会丢
11、失原来的信息频率分辨力（率）F频谱谱线间的最小间隔F与采样长度L成反比，即：需要综合考虑采样频率与采样长度的矛盾,工程中的采样频率设置：,离散傅里叶变换 采样定理,采样点数N与谱线数M的关系：N=2.56M 谱线数M与最高分析频率Fm的关系：M=fm/F频率分辨率F与采样点数N的关系：F=fm/N,工程中的采样频率设置：,离散傅里叶变换 采样定理,举例 机器转速3000r/min=50Hz，如果要分析的故障频率估计在8倍频以下，要求谱图上频率分辨率F=1 Hz,则采样频率和采样点数设置为：最高分析频率：fm=850Hz=400Hz;采样频率：fs=2.56 fm=2.56400Hz=1024H
12、z;采样点数：N=2.56(fm/F)=2.56(400Hz/1Hz)1024谱线数：M=N/2.56=1024/2.56=400条,工程中的采样频率设置：,离散傅里叶变换 采样定理,举例 机器转速3000r/min=50Hz，如果要分析的故障频率估计在8倍频以下，要求谱图上频率分辨率F=1 Hz,则采样频率和采样点数设置为：最高分析频率：fm=850Hz=400Hz;采样频率：fs=2.56 fm=2.56400Hz=1024Hz;采样点数：N=2.56(fm/F)=2.56(400Hz/1Hz)1024谱线数：M=N/2.56=1024/2.56=400条,工程中的采样频率设置：,离散傅里
13、叶变换 采样定理,满足采样定理,离散傅里叶变换,连续信号,离散信号,计算机只能处理有限长的信号，如何获得有限长的信号？,定义频域矩形窗函数为：理想采样信号的频谱与幅值为T的矩形窗函数相乘，得 即完成将原信号的频谱在采样频率之内完整地提取出来。,离散傅里叶变换 加窗截断,常用窗函数的时域图,离散傅里叶变换 加窗截断,时域图,离散傅里叶变换 加窗截断,加窗是否会造成能量泄漏？,时域截断产生的能量泄漏与窗函数频谱的旁瓣相关，需要选择合适的窗函数对窗函数的基本要求在时域中：改善截断处的不连续状态在频域中：窗谱的主瓣窄而高，以提高分辨力旁瓣幅值小，减少泄漏和假频,常用窗函数的频域图,离散傅里叶变换 加窗
14、截断,时域图,离散傅里叶变换,时域相乘，频域如何变化？,卷积的运算,反转平移相乘积分,反转,平移,相乘,积分,（1）t=0时，y(0)=2A2 T0,y(t),2A2T0,2T0,-2T0,0,x(t),T0,-T0,h(0-),T0,-T0,T0,-T0,t,t,0,0,0,卷积的运算示例,A2,（2）t=T0/2时，y(T0/2)=3A2 T0/2,y(t),2T0,-2T0,0,h(T0/2-),T0,-T0,A2,T0,-T0,2A2T0,3A2T0/2,卷积的运算示例,（3）t=T0时，y(T0)=A2 T0,y(t),2A2T0,2T0,-2T0,0,h(T0-),T0,-T0,A
15、2,T0,-T0,卷积的运算示例,（4）t=3T0/2时，y(3T0/2)=A2 T0/2,y(t),2A2T0,2T0,-2T0,0,h(3T0/2-),T0,-T0,A2,T0,-T0,卷积的运算示例,（5）t=2T0时，y(2T0)=0,y(t),2A2T0,2T0,-2T0,0,h(2T0-),T0,-T0,A2,T0,-T0,卷积的运算示例,（6）t=-T0/2时，y(-T0/2)=3A2T0/2,y(t),2A2T0,2T0,-2T0,0,h(-T0/2-),T0,-T0,A2,T0,-T0,卷积的运算示例,（7）t=-T0时，y(-T0)=A2T0,y(t),2A2T0,2T0,
16、-2T0,0,h(-T0-),T0,-T0,A2,T0,-T0,卷积的运算示例,（8）t=-3T0/2时，y(-3T0/2)=3A2T0/2,y(t),2A2T0,2T0,-2T0,0,h(-3T0/2-),T0,-T0,A2,T0,-T0,卷积的运算示例,（9）t=-2T0时，y(-2T0)=0,y(t),2A2T0,2T0,-2T0,0,h(-2T0-),T0,-T0,A2,T0,-T0,卷积的运算示例,卷积的应用,含有脉冲函数的卷积：,设 h(t)=(t-T)+(t+T),卷积为,计算函数x(t)和脉冲函数的卷积，就是简单地将x(t)在发生脉冲函数的坐标位置上(以此作为坐标原点)重新构图
17、。,卷积的性质,时域卷积定理：,如果,则有,时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于在频域中频谱相乘。,卷积的性质,时域卷积定理图例,时域卷积,FT,FT,频域相乘,FT,频域卷积定理：,如果,则有,频域卷积定理：两时间函数的频谱的卷积等效于时域中两时间函数的乘积。,卷积的性质,卷积,时域图,频域图,离散傅里叶变换,连续信号傅里叶变换,离散傅里叶变换,定义：对有限长度的离散时域或频域信号进行傅里叶变换或逆变换，得到同样为有限长度的离散频域或时域信号的方法，便称为离散傅里叶变换（DFT）或其逆变换（IDFT）。公式：,注意：连续信号用x(t)表
18、示，离散后则用x(n)表示,离散傅里叶变换,离散傅里叶变换过程图解时域采样,时域,频域,时域离散化,频域周期延拓,冲击串,离散傅里叶变换,离散傅里叶变换过程图解时域截断,时域,频域,时域截断,频域截断,加窗,本节总结,对于非周期连续信号x(t)，频谱X(f)是连续谱对于周期连续信号，傅里叶变换转变为傅里叶级数，其频谱是离散的对于非周期离散信号，其傅里叶变换是一个周期性的连续频谱对于周期离散的时间序列，其频谱也是周期离散的,时间离散,频域离散,本节总结,DFT实际应用,（1）机械设备故障诊断,通过傅里叶变换，可以获得轴承、齿轮等设备的故障特征频率，从而判断设备是否有故障,（2）语音信号分析,通过傅里叶变换，可以获得不同人说话的频率特征，以进行语音识别,DFT实际应用,（3）无线通讯分析,实时频谱分析，获取通信信道的能量分布与变化情况,DFT实际应用,下节课内容,拉氏变换 Z变换 模拟滤波器设计,
