《自适应滤波原理.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自适应滤波原理.ppt（43页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、3.1 自适应滤波原理,图 3.1 自适应滤波器原理,如上图，自适应滤波器由参数可调的数字滤波器和自适应算法两部分组成。参数可调数字滤波器可以是FIR数字滤波器或IIR数字滤波器，也可以使格型数字滤波器。该系统具有最小均方误差和最小方差。自适应滤波器的特性有：（1）收敛速度（2）误调整（3）计算的复杂性,（4）对于随时间变化的数据的循迹能力（5）结构：高模块性、高平行性、高并行性（适合超大规模集成电路的实现）（6）数值特性：数值稳定性和数值精确性（7）稳定性：小能量的干扰仅仅带来很小的估计误差,3.2 自适应线性组合器,自适应线性组合器是一种参数可自适应调整的有限冲激响应（FIR）数字滤波器，
2、具有非递归结构形式。它的分析和实现比较简单，在大多数自适应信号处理系统中得到广泛应用。,图 3.6所示的是自适应线性组合器的一般形式。输入信号适量x(n)的L+1个元素，既可以通过在同一时刻n对L+1个不同信号源取样得到，也可以通过对同一信号源在n以前L+1个时刻取样得到。前者成为多输入情况，后者称为单输入情况。图3.6所示的是多输入情况，图3.7所示的是单输入情况。这两种情况下输入信号矢量都用x(n)表示，但应注意它们有如下区别：,多输入情况：X(n)=x0(n)x1(n)xL(n)T（3.1）单输入情况：X(n)=x(n)x(n-1)x(n-L)T（3.2）这意味着，多输入情况下x(n)是
3、一个空间序列，其元素由同一时刻的一组取样值构成，相当于并行输入；而单输入情况下x(n)是一个时间序列，其元素由一个信号在不同时刻的取样值构成，相当于串行输入。,对于一组固定的权系数来说，线性组合器的输出y(n)等于输入矢量x(n)的各元素的线性加权和。然而实际上权系数是可调的，调整权系数的过程叫做自适应过程。在自适应过程中，各个权系数不仅是误差信号e(n)的函数，而且还可能是输入信号x(n)的函数，因此，自适应线性组合器的输出就不再是输入信号的线性函数。,输入信号和输出信号的关系为单输入情况：（3.3）多输入情况：（3.4）,自适应线性组合器的L+1个权系数构成一个权系数矢量，称为权矢量，用w
4、(n)表示，即W(n)=w0(n)w1(n)wL(n)T(3.5)这样，式（3.3）和式（3.4）可统一表示为y(n)=xT(n)w(n)=wT(n)x(n)(3.6)参考响应与输出响应之差称为误差信号，用e(n)表示，即e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-xT(n)w(n)=d(n)-wT(n)x(n)(3.7),自适应线性组合器按照误差信号均方值（或平均功率）最小的准则，即(n)=Ee2(n)=min(3.8)来自动调整权矢量。,3.3 均方误差性能曲面,由式（3.6）、（3.7）、（3.8）得均方误差表示式为（3.9）在d(n)和x(n)都是平稳随机信号的情况下，输入信号的自相关矩阵
5、R，d(n)与x(n)的互相关矩阵P都是与时间n无关的恒定二阶统计，分别定义为,（3.10）（3.11）以上二式对应于多输入情况。对于单输入情况，不难写出类似结果。将上二式代入式（3.9），得到均方误差的简单表示形式（3.12）,从该式看出，在输入信号和参考响应都是平稳随机信号的情况下，均方误差是权矢量w各分量的二次函数。这就是说，若将上式展开，则w各分量只有一次项和二次项存在。的函数图形是L+2维空间中一个中间下凹的超抛物面，有唯一的最低点min该曲面称为均方误差性能曲面，简称性能曲面。,自适应过程是自动调整权系数，使均方误差达到最小值min的过程，这相当于沿性能曲面往下搜索最低点。最常用的
6、搜索方法是梯度法，因此，性能曲面的梯度是一个很重要的概念。均方误差性能曲面的梯度用表示，定义为(3.13),将式3.12代入上式，得到（3.14）最小均方误差对应的权矢量称为最佳权矢量或维纳解，用 表示。在性能曲面上，该点梯度等于零，即（3.15）将其代入式（3.12），得最小均方误差,(3.17)由于是w 的二次型，且在w=处有唯一最小值，故可写成下列标准形式（3.18）若定义权偏移矢量（3.19）则上式可写成下列更简单的形式：（3.20）,该式表明，当权矢量w相对于最佳值 偏离了义个数值v（v 0）时，均方误差将比最小均方误差min大一个数值。为了保证对任何可能的v值都使为非负，显然要求（
7、任取v值）(3.21)这就是说，R应该是正定或正半定的，正半定是指对某些有限个v或所有v，=0的情况。实际应用中的R应该满足这一要求。根据式（3.20）计算性能曲面得梯度，得(3.22)该式与式（3.14）等效。,3.4 二次性能曲面的基本性质,平稳随机信号的统计特性不随时间变化，因此，其性能曲面在坐标系中是固定不变或“刚性”的，自适应过程就是从性能曲面上某点(初始状态)开始，沿着曲面向下搜索最低点的过程。但对于非平稳随机信号来说，由于其统计特性随着时间在变化，因而其性能曲面是,是“晃动的”或“模糊的”。在这种情况下，自适应过程不仅要求沿性能曲面向下搜索最低点，而且还要求对最低点进行跟踪。下面
8、只讨论平稳随机信号情况下性能曲面的某些基本性质。由式(3.18)或式(320)看出，性能曲面的形状和取向都与R有关，因此，它的性质将取决于输入信号自相关矩阵R的性质。,为便于理解，下面讨论只有两个权系数w0和w1的自适应线性组合器。在这种情况下，性能曲面是三维空间(,w0,w1)中的一个抛物面。现用一个与w0-w1平面平行且与其相距1的平面切割该抛物面，所得的交线在w0-w1 平面上的投影是一个椭圆，如图38所示。桶圆的中心为w*(w0*，w1*)，它,是性能曲面最低点min的投影。如果用若干个与w0-w1 平面距离不同的平行平面来切割性能曲面，则所得的交线投影将是一组中心同在w*的椭圆，它们
9、各与一个确定的值相对应，因此，称这些椭圆为等均方误差线或等高线，如图3.9所示。,图 3.8 与1对应的等高线,图 3.9 一组等均方误差线,在（w0,w1)坐标系中，等高线方程可由式（3.12）得到，即（3.23）若将坐标原点平移至(w0*,w1*)，便得到权偏移矢量坐标系(v0,v1)=(w0-w*,w1-w*)，在该坐标系中等高线方程为（3.24）这仍是一组同心椭圆，中心位于新的坐标原点（v=0)。在图3.9中，和 是椭圆的主轴。,将以上讨论推广到有L+1个权系数的情况，不难想象，等高线将是L+1维空间中的一组同心椭圆，椭圆中心位于坐标系（v0,v1,vL)的原点。这组同心超椭圆有L+1
10、根主轴，它们也是均方误差曲面的主轴。若把这组同心超椭圆看成是函数F(v)=vTRv的等高线，F的梯度也是的梯度，那么，与椭圆正交的任何矢量都可用F的梯度来表示。F的梯度为,（3.25）任何通过坐标原点v=0的矢量都可表示为。主轴 与F(v)正交且通过坐标原点，故有（3.26）或（3.27）考虑到R与其特征值n和特征矢量Qn满足下列关系（3.28）,将该式与式（3.27）比较，可以看出，即主轴是R的特征矢量，这是性能曲面的第一个性质。R是对称和正定的，可化为标准形（3.29）式中，是R的特征值矩阵，它是一个对角矩阵，即（3.30）,对角上的元素n(n=0,1,2,L)是R的L+1个特征值，可由R
11、的特征方程（3.31）接触。Q是R的特征矢量矩阵，它是以R的特征矢量Q n 作为列构成的方阵，即 Q=Q0 Q1 QL(3.32)这里，Q n(n=0,1,2,L)是R的特征矢量，它们与R的特征值之间有下列关系（3.33）,将式（3.29）代入式（3.20），可得到性能曲面的另一种表示形式（3.34）该式中（3.35）它是坐标系v旋转后得到的新坐标系统。在坐标系 中性能曲面的梯度可由式（3.34）求出，为（3.36）,将该式与式（3.25）进行对照，可以看出，如果只有一个分量 是非零的，那么，梯度矢量就位于坐标轴上。因此，式（3.35）定义的旋转坐标系统 就是超椭圆的主轴坐标系统。这是性能曲面
12、的第二个性质。由式（3.36）可知，沿主轴 的梯度分量可写成（3.37）,沿主轴 的二阶导数为（3.38）这就是说，输入信号的自相关矩阵R的特征值给出有了性能曲面沿主轴的二阶导数值。这时性能曲面的第三个性质。现将二次性能曲面的三个基本性质总结如下：1）根据输入相关矩阵的特征向量定义性能曲面的主轴。,2）旋转坐标系统确定了性能曲面等高线的主轴坐标系统。3）输入信号的自相关矩阵R的特征值给出了性能曲面沿主轴的二阶导数值。,3.5 最陡下降法,最陡下降法是沿性能曲面的最陡方向向下搜索曲面的的最低点。曲面的最陡下降方向是曲面的负梯度方向。这是一个迭代搜索过程即首先从曲面上某个初始点(对应于初始权矢量w
13、(0)出发，沿该点负梯度方向搜索至第1点(对应的权矢量为w(1)，w(1)等于初始值w(0)加上一个正比于负梯度的增量。,用类似的方法，一直搜索到 w*(对应于曲面最低点)为止。最陡下降法迭代计算权矢量的公式为(3.39)式中，是控制搜索步长的参数称为自适应增益参数，或收敛参数；曲面上各点的梯度不同，因此，梯度加有时间指标n。将梯度公式代入上式，得,(3.40)求解式（3.40）即可求得权矢量随迭代次数变化的函数关系。由于w(n)的系数短阵(I-2R)不是对角短阵，若将式(3.40)展开，则各方程之间将通过w(n)的各分量互相耦合起来，这就给式(3.40)的求解造成因难。为了将式(3.40)变
14、换成L+1个互相独立的标量方,程，需要将w坐标通过平移和旋转进一步变换成主轴坐标，这样式(340)变为（3.41）式中，和 的定义分别由式（3.30）和式（3.35）给出。式（3.41）展开后，得到L+1个独立的标量方程,（3.42）由于它们之间没有耦合，因此，可分别由初始权值进行迭代运算求解，最后得（3.43）,式中，是L+1个初始权值，它们构成初始权矢量（3.44）式（3.43）用矢量表示为（3.45）从式（3.43）可看出，为确保算法稳定且收敛，必须要求所有的特征值满足下式,内选取，那么，条件式（3.46）必然满足。上式中max是R的最大特征值。式（3.47）是最陡下降法搜索二次误差性能
15、曲面迭代计算收敛的必要条件，当此条件满足时，根据式（3.45），有,这表明收敛于最佳权矢量，即为免去计算R的特征值的麻烦，现将式（3.47）作一些变换。因为R是正定的，所以有（3.48）现对式（3.47）作更保守的估计，有（3.49）这里，是R的迹，它可以用输入信号的取样值进行估计，即（3.50）,由式（3.43）或式（3.45）可看出，在主轴坐标系中，权矢量各分量沿各坐标轴收敛是独立进行的，它们均按几何级数的规律衰减，其几何比分别为（3.51）这意味着在用最陡下降法搜索性能曲面的过,程中，权矢量在主轴坐标系 各坐标轴上的投影是一个等比级数序列，几何比由相应的特征值决定。在结束本节之前，将式（3.45）的结果由主轴坐标系返回到自然坐标系去，以看清权矢量w(n)的自适应调整规律。由式（3.45）得,
