要点梳理1三种增长型函数模型的图象与质.ppt

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1、要点梳理1.三种增长型函数模型的图象与性质,2.8 函数模型及其应用,增函数,增函数,增函数,越来越快,越来越慢,函 数,性 质,2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0,+)，无论n比a大多少，尽管在x的一定 范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_y=xn 的增长速度,因而总存在一个x0,当xx0时有_.,y轴,x轴,快于,axxn,（2）对数函数y=logax(a1)与幂函数y=xn(n0)对数函数y=logax(a1)的增长速度，不论a与n值的 大小如何总会_y=xn的增长速度,因而在定义域 内总存在一个实数x0,使x

2、x0时有_.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函 数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在（0,+)上，总会存在一个x0，使xx0时有 _.,慢于,logaxxn,axxnlogax,3.常用的几类函数模型(1)一次函数模型 f(x)=kx+b(k、b为常数，k0);(2)反比例函数模型(k、b为常数,k0);(3)二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a0)；(4)指数函数模型 f(x)=abx+c（a、b、c为常数，a0,b0,b1）；(5)对数函数模型 f（x）=mlogax+n（m、n、a为常 数，m 0,a0,a1）;(6)幂函数模型

3、f(x)=axn+b(a、b、n为常数，a0,n1).,1.求解函数应用题的一般方法“数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应用 题的一般程序是：(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;(2)建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建 立相应的数学模型；(3)求模:求解数学模型,得到数学结论；(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题 的意义.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,4.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意 图表示为5.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果要回到实际问题中写答案.,基础自测1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税 外还要征

4、收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100 元国家要征附加税为x元（税率x%）,则每年销售量 减少10 x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附 加税额不少于112万元，则x的最小值为（）A.2 B.6 C.8 D.10 解析 依题意 解得2x8,则x的最小值为2.,A,2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利 息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人 2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元,则该存款人的本金介于（）A.3万4万元 B.4万5万元 C.5

5、万6万元 D.2万3万元 解析 设存入的本金为x，则x2%20%=138.64，,A,3.在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x元之 间满足一次函数关系,如果购买1 000 吨,每吨为800 元；购买2 000 吨,每吨为700元;一客户购买400 吨,单价应该是（）A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 解析 依题意，可设y与x的函数关系式为 y=kx+b,由x=800,y=1 000及x=700,y=2 000,可得k=-10,b=9 000,即y=-10 x+9 000,将y=400代入得x=860.,C,4.某物体一天中的温度T(单位:)是时间t(单位:h)的函数

6、:T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午1200，其后t 取正值,则下午3时温度为（）A.8 B.78 C.112 D.18 解析 由题意，下午3时，t=3，T(3)=78.,5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一 种方式其加密、解密原理如下：明文 密文 密文 明文 已知加密为y=ax-2（x为明文,y为密文）,如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受 方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_.解析 依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2，解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由 14=2x-2,解得

7、x=4.,加密,发送,解密,4,题型一 一次、二次函数模型【例1】如图所示，在矩形 ABCD中，已知AB=a，BC=b（ba）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH,CG,CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最 大？并求出最大面积.依据图形建立四边形EFGH的面积S关于 自变量x的目标函数，然后利用解决二次函数的最值 问题求出S的最大值.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 设四边形EFGH的面积为S，则SAEH=SCFG=x2,SBEF=SDGH=(a-x)(b-x)，由图形知函数的定义域为x|0 xb.又0ba,0b,若 b,即a3b时，则当 时，S有最大值 若 即a3b

8、时,S(x)在（0,b上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为综上可知，当a3b时，时，四边形面积Smax=当a3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.,探究提高 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.,题型二 分段函数模型【例2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样 品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售 情况不断进行调整，结果40天内全部销完.公司对 销售及销售利润进行了调研,结果如图所示，其中 图（一条折线）

9、、图（一条抛物线段）分别是 国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图 是每件样品的销售利润与上市时间的关系.,(1)分别写出国外市场的日销售量f（t）与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g（t）与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由.,(2)每件样品的销售利润h（t）与上市时间t的关系为 故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的 关系为,当0t20时，F（t）在0，20上是增函数，F（t）在此区间上的最大值为F（20）=6 0006 300.当20t30时，由F（t）=6 300，

10、得3t2-160t+2 100=0,解得t=(舍去)或t=30.,当30t40时，由F（t）在（30，40上是减函数，得F(t)F(30)=6 300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天.(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.,探究提高,知能迁移2 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总 收益满足函数：其中x是仪器的月产

11、量.（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时公司所获利润最大？最大利 润是多少元？（总收益=总成本+利润）,解（1）设月产量为x台，则总成本为（20 000+100 x）元，从而（2）当0 x400时，当x=300时，有最大值25 000；当x400时，f(x)=60 000-100 x是减函数，f(x)60 000-10040025 000.所以，当x=300时，有最大值25 000.所以，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000元.,题型三 指数函数模型与幂函数模型【例3】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然 增长率为1.2%，试解答以下问题：(1

12、)写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年)的 函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万 人（精确到1年）.(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年 自然增长率应该控制在多少？,（参考数据:1.01291.113，1.012101.127，lg 1.20.079,lg 20.301 0,lg 1.0120.005,lg 1.0090.003 9）增长率问题是指数函数问题，利用指数 函数模型，构造函数.,思维启迪,解（1）1年后该城市人口总数为 y=100+1001.2%=100(1+1.2%)2年后该城市

13、人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3.x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x.,(2)10年后，人口总数为 100(1+1.2%)10112.7（万人).(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(1+1.2%)x=120,(4)由100(1+x%)20120,得(1+x%)201.2,两边取对数得20lg(1+x%)lg 1.2=0.079,所以 所以1+x%1.009,得x0.9,即年自然增长率应该控制

14、在0.9%.,探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以 用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.,知能迁移3 1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主 题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口 平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平 均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多

15、有多少亿？,以下数据供计算时使用：,解（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口 数为y，则y(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，(1+x)40=2，两边取对数，则40lg（1+x）=lg 2，则lg（1+x）=0.007 525，1+x1.017，得x=1.7%.（2）依题意，y12.48(1+1%)10，得lg ylg 12.48+10lg 1.01=1.139 2,y13.78，故人口至多有13.78亿.答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.,题型四 函数的综合应用【例4】(12分)有一个受到污染的湖泊，其湖水的体 积

16、为V立方米,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的 水量，都为r立方米.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好的混合.用g（t）表示任一 时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其 为在时刻t时的湖水污染质量分数.已知目前污染源 以每天p克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数 满足关系式(p0)，其中 g(0)是湖水污染的初始质量分数.,（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的 初始质量分数；（2）求证：当g(0)时,湖泊的污染程度将越来越 严重；（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染 停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平 下降到开始时(即污染源停止时)污染水平的

17、5%？,（1）水污染质量分数为常数，即g(t)为常数函数；(2)污染程度越来越严重，即证明g(t)为增函数；(3)转化为方程即可解决.(1)解 设0t1t2,g(t)为常数，g（t1）=g(t2),2分 4分,思维启迪,(2)证明 设0t1t2,g(0)-0,t1t2,g(t1)-g(t2)0,g(t1)g(t2).故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.8分,(3)解 污染源停止，即p=0，此时 设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g(t)=5%g(0)，即有5%g（0）=10分由实际意义知g(0)0，即需要 天时间.12分,探究提高(1)对此类问题的解决

18、关键是认真审题，理顺数量关系.(2)应用数学模型，抽象出方程、不等式或函数解析式.(3)用函数、方程、不等式解答.,知能迁移4 经市场调查，某城市的一种小商品在过 去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件),价 格近似满足(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.,解（1）y=g（t）f（t）=（40-t）（40-|t-10|）=（2）当0t10时,y的取值范围是1 200,1 225,在t=5时，y取得最大值为1 225；当10t20时，y的取值范围是600

19、，1 200，在t=20时，y取得最小值为600.答 第5天，日销售额y取得最大值为1 225元；第20天，日销售额y取得最小值为600元.,2.几种重要的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0)；(3)反比例型函数模型:(k,b为常数,k0);(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,b1)；(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数，m0,a0,a1);(6)分段函数模型.,1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，正 确理解题意

20、，选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确 定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个 数学解对实际问题的合理性.,失误与防范,一、选择题 1.某电信公司推出两种手机收费 方式:A种方式是月租20元,B种 方式是月租0元.一个月的本地网 内打出电话时间t(分钟)与打出 电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差（）A.10元 B.20元 C.30元 D.元,定时检测,解析 设A种方式对应的函数解析式为S=k1t+20,B种方式对应的函数解析式为S=k2t,当t=100时，100k1+20=100k2,当t=150

21、时，150k2-150k1-20=故选A.答案 A,2.由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f(x)在(-,+)上是（）A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 解析 当x0且y0时，x2+y2=1,当x0且y0时，y2-x2=1,当x0且y0时，无意义.由以上讨论作图如右，易知是减函数.,B,3.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不 纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部 分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元，则这个人应得 稿费（扣税前）为（）A.2 800元 B.3 000元 C.3 800

22、元 D.3 818元,解析 设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所以稿费应在8004 000元之间,(x-800)14%=420,x=3 800.答案 C,4.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶 之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时 间t的函数，其图象可能是（）解析 根据汽车加速行驶（a0），匀速 行驶s=vt,减速行驶(a0)结合函数图象可 知选A.,A,5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数 关系是y=3 000+20 x-0.1x2(0 x240,xN*),若每台 产品的售

23、价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入 不小于总成本）的最低产量是（）A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 解析 设利润为f（x）(万元)，则f(x)=25x-(3 000+20 x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 0000,x 150.,C,6.已知a0且a1，f(x)=x2-ax,当x(-1,1)时均有 f(x)则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.,解析 由题意可知 在（-1，1）上恒成立，令y1=ax,由图象知：答案 C,二、填空题7.计算机的价格大约每3年下降,那么今年花8 100 元买的一台计算机,9年后的价格大约是_元.解析 设计算机价格平均每年下降p%

24、，由题意可得 9年后的价格,300,8.设函数f(x)=x|x|+bx+c，给出下列命题：b=0,c0时，方程f(x)=0只有一个实数根；c=0时，y=f(x)是奇函数；方程f(x)=0至多有两个实根.上述三个命题中所有正确命题的序号为_.解析 f(x)=x|x|+c=,如图，曲线与x轴只有一个交点，所以方程f(x)=0只有一个实数根，正确.c=0时，f(x)=x|x|+bx，显然是奇函数.当c=0,b0时，f(x)=x|x|+bx=如图，方程f(x)=0可以有三个实数根.综上所述，正确命题的序号为.答案,9.已知f(x)=(x2-ax+3a)(为锐角),在区间 2,+)上为增函数,则实数a的

25、取值范围是 _.解析 令u=x2-ax+3a,在定义域内为减函数，f(x)=(x2-ax+3a)在2,+)上为增函数,则u=x2-ax+3a0在2,+)上恒成立,且为增函数,-4a4,三、解答题 10.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这 些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自 行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增 加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整 数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这 一日的管理费用,用y（元）表示出租自行车的日净 收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用 后的所得）.,

26、(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解（1）当x6时，y=50 x-115,令50 x-1150，解得x2.3.xN*，x3，3x6，xN*，当x6时，y=50-3（x-6）x-115.令50-3（x-6）x-1150,有3x2-68x+1150,上述不等式的整数解为2x20(xN*）,6x20(xN*).,故定义域为x|3x20,xN*.(2)对于y=50 x-115(3x6,xN*).显然当x=6时，ymax=185(元)，对于y=-3x2+68x-115当x=11时，ymax=270（元）.270185，当每辆自行

27、车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多.,11.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注 意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持 较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知：,(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下

28、讲授完这道题目？,解（1）当0t10时，f(t)=-t2+24t+100=-(t-12)2+244是增函数，且f(10)=240；当20t40时，f(t)=-7t+380是减函数，且f(20)=240.所以,讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.（2）f（5）=195，f（25）=205，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.,（3）当024,所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.,12.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数 关系式可以近似地表示为y=-48x+8 000

29、,已知此 生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成 本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量 为多少吨时,可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为(万元).,当且仅当 即x=200时取等号.年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元,则R(x)=40 x-y=40 x-+48x-8 000=-+88x-8 000=-(x-220)2+1 680(0 x210).R(x)在0,210上是增函数,x=210时,R(x)有最大值为-(210-220)2+1 680=1 660.年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元.,返回,