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1、要点梳理1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:_.(2)等号成立的条件:当且仅当_时取等号.,7.4 基本不等式:,a0,b0,a=b,基础知识 自主学习,2.几个重要的不等式(1)a2+b2 _(a,bR).(2)_(a,b同号).(3)(a,bR).(4)(a,bR).3.算术平均数与几何平均数 设a0,b0，则a,b的算术平均数为,几何平均 数为_，基本不等式可叙述为：_ _.,2ab,2,术平均数不小于它们的几何平均数,两个正数的算,4.利用基本不等式求最值问题 已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，x+y 有最_值是_.（简记：积定和最小）(2)如果和x+
2、y是定值p,那么当且仅当_时,xy有最 _值是_.（简记：和定积最大）,x=y,小,x=y,大,基础自测1.下列结论中不正确的是（）A.B.C.a2+b22ab D.解析 只有当a、b同号且不为零时 成立，,B,2.已知向量a=(x-1,1),b=则|a+b|的最小 值 是（）A.1 B.C.D.2 解析 a+b=|a+b|=,B,3.当x1时，关于函数 下列叙述正确 的是（）A.函数f(x)有最小值2 B.函数f(x)有最大值2 C.函数f(x)有最小值3 D.函数f(x)有最大值3 解析 x1,x-10,C,4.已知a0,b0，则a+2b的最小值为（）A.B.C.D.14 解析 据题意知,
3、A,5.若00,x(4-3x)=3x(4-3x)当且仅当3x=4-3x,即x=时取得等号.,D,题型一 利用基本不等式证明不等式【例1】已知x0,y0,z0.求证：由题意，先局部运用基本不等式，再利 用不等式的性质即可得证.,思维启迪,题型分类 深度剖析,证明 x0,y0,z0,当且仅当x=y=z时等号成立.,利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.,探究提高,知能迁移1（1）证明：a4+b4+c4+d44abcd;(2)已知a0,b0,a+b=1,求证:证明（1）a4+
4、b4+c4+d42a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)22abcd=4abcd.原不等式得证.（2）a0,b0,a+b=1，所以原不等式成立.,题型二 利用基本不等式求最值【例2】求下列各题的最值.（1）已知x0,y0,lg x+lg y=1,求 的最 小值；（2）x0,求 的最小值；（3）x3，求 的最大值；（4）xR，求 的最小值.,思维启迪（1）由lg x+lg y=1得xy=10,故可用基本不等式.（2）由x0,是常数，故可直接利用基本不等式.（3）由于 不是常数，故需变形.又x-30，故需变号.（4）虽然(常数),但利用基本不等式时，等号取不到，所以利用函数的单调性.,解（
5、1）方法一 由x0,y0,lg x+lg y=1,可得xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.方法二 由x0,y0,lg x+lg y=1,可得 当且仅当 即x=2,y=5时等号成立.,(2)x0,等号成立的条件是 即x=2,f(x)的最小值是12.(3)x0,当且仅当 即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.,(4)令sin2x+1=t,则t1，2，故 任取t1,t21，2且t1t2,t1t2且t1,t21，2，t1-t20,t1t2-50,故g(t1)-g(t2)0,g(t1)g(t2),g(t)在1，2上是减函数，f(x)min=等号成立的条件是sin2x+1
6、=2.sin x=1,故f(x)的最小值是 利用基本不等式求最值问题,基本方法是借助条件化二元函数为一元函数,代换过程中应注意元的范围,同时也要注意“拆项”、“凑项”的技巧，特别要注意等号能否取到.,探究提高,知能迁移2（1）已知x0,y0，且 求x+y 的最小值；（2）已知x 求函数 的最大值;（3）若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.,解（1）x0,y0,当且仅当 时，上式等号成立，x=4,y=12时，(x+y)min=16.,(2)x0,-2+3=1,当且仅当 即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.,(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy
7、,当且仅当 即x=2y时取等号，又2x+8y-xy=0,x=12,y=6,当x=12,y=6时，x+y取最小值18.,题型三 利用基本不等式解应用题【例3】(12分)某造纸厂拟建一座平 面图形为矩形且面积为162平方米的 三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔 墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求 出最低总造价.,思维启迪 设污水处理池的
8、宽为x米,则长为 米,由题意可建立总造价与x的函数关系,进而通过求函数的最值确定x的取值.解（1）设污水处理池的宽为x米，则长为 米.1分,当且仅当(x0),即x=10时取等号.5分当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.6分（2）由限制条件知 8分,g(x)有最小值，10分即f(x)有最小值为当长为16米，宽为 米时，总造价最低，为38 882元.12分（1）解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即变量的取值范围.（2）在求函数最值时，除应用基本不等式外,有时会出现基本不等式取不到“=”，此时要考虑函数的单调性.,探究提高,知能迁移3 某学校拟建一块周长为400
9、 m的操场如 图所示，操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学 生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操 区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解 设中间矩形区域的长，宽分别为x m,y m,中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为 因为操场周长为400,所以,即把矩形的长和宽分别设计为100 m和 时，矩形区域面积最大.,1.恒等变形：为了利用基本不等式,有时对给定的代 数式要进行适当变形.比如：,方法与技巧,思想方法 感悟提高,2.常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接.(1)(a0,且aR),当且仅当a=1时“=”成立.(2)(a0,b0,a,bR),当且仅当a=b时“=”成立.3.
10、二次配方：a0,aR,应用不等式 可解 决部分分式不等式的最值问题.比如：当x2时，,使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在 前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.,失误与防范,(1)确保“一正”.对于负数，很多不等关系就不一定成立.如：当x0时，显然不再成立.事实上，此时(2)要使 中“=”成立，必须使a=b成立.如：,一、选择题1.在下列各函数中,最小值等于2的函数是()A.B.C.D.,定时检测,解析 选项A中，x0时，y2,x0时，y-2;选项B中，cos x1,故最小值不等于2；选项C中，答案 D,2.（2009天津理，6）设a0，b0
11、,若 是3a与3b的 等比中项，则 的最小值为（）A.8 B.4 C.1 D.解析 由题意知3a3b=3,即3a+b=3，所以a+b=1.因为a0,b0,当且仅当a=b时，等号成立.,B,3.已知x0，y0，lg 2x+lg 8y=lg 2,则 的最 小值是（）A.2 B.C.4 D.解析 由lg 2x+lg 8y=lg 2,得lg 2x+3y=lg 2,x+3y=1,C,4.已知（a2),(xn B.mn C.m=n D.mn 解析,A,5.x 则 的最小值为()A.-3 B.2 C.5 D.7 解析,D,6.函数 x(0,3)，则（）A.f(x)有最大值 B.f(x)有最小值-1 C.f(
12、x)有最大值1 D.f(x)有最小值1 解析 x(0,3),x-1(-1,2),(x-1)20，4)，当且仅当 且x(0,3),即x=2时取等号，当x=2时，函数f(x)有最小值1.,D,二、填空题7.若正数a、b满足 则a+b的最小值为_.解析,8.函数y=ax-1(a0,且a1)的图象恒过定点A,若点 A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m,n0,则 的最小值为_.解析 由题知A（1，1），m+n=1，m,n0.,4,9.若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a1)，则(a+1)(b+2)的最小值为_.解析 ab-4a-b+1=0,ab=4a+b-1,(a+1)(b+2)=ab+2a+
13、b+2=6a+2b+1,a1,a-10.当且仅当(a-1)2=1,即a=2时成立.最小值为27.答案 27,三、解答题 10.(1)求函数y=x(a-2x)(x0，a为大于2x的常数)的 最大值；(2)设x-1,求函数 的最值.解（1）x0,a2x,当且仅当 时取等号，故函数的最大值为,（2）x-1,x+10.设x+1=z0,则x=z-1当且仅当z=2,即x=1时上式取等号.x=1时,函数y有最小值9,无最大值.,11.(1)已知a0,b0,c0且a+b+c=1.求证:（2）已知a0,b0,求证：证明（1）a+b+c=1,=3+2+2+2=9.等号成立的条件是a=b=c,故,（2）方法一,方法
14、二 a0,b0,由不等式的性质+得：,12.西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销.在1年内,据测算年销售 量S（万双）与广告费x（万元）之间的函数关系为(x0),已知羊皮手套的固定投入为3万元,每生产1万元羊皮手套仍需再投入16万元.（年销售 收入=年生产成本的150%+年广告费的50%）(1)试将羊皮手套的年利润L（万元）表示为年广告 费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利 润最大,最大利润为多少？（年利润=年销售收入-年广告费）,解(1)由题意知,羊皮手套的年成本为(16S+3)万元,年销售收入为（16S+3）150%+x50%，年利润L=（16S+3）150%+x50%-（16S+3）-x，当且仅当 即x=4时，L有最大值为21.5，因此，当年广告费投入为4万元时，此公司的年利润 最大，最大利润为21.5万元.,返回,
