圆和扇形(经典题汇总).docx

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1、圆与扇形公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念. 及周长、面积公式等下面我们来说说这方面的基础知识圆是我们在生活中经常见到的图形. 它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴. 绕圆心旋转任何角度还保持原状而且. 所有的平面图形在周长相同的情况下. 圆的面积是最大的我们知道 . 圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数. 这正是圆周率 . 用 表示另外 . 一般把直径记作 d. 半径记作 r . 如图 1 所示rd图 1所以 . 圆的周长Cd2r . 圆的面积Sr 2 如图 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形它是圆的一部分. 所以关于扇形的各种计算可

2、以应用圆里面的结论nr图 3扇形的圆心角为n时 . 它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的n 360所以 . 扇形弧长 =n2 r . 面积 =nr 2 360360我们先来熟悉一下这些公式练习：.1. 半径是 2 的圆的面积和周长分别是多少？2. 直径是 5 的圆的面积和周长分别是多少？3. 周长是 10 的圆的面积是多少？4. 面积是 9 的圆的周长是多少？例题一、基本公式运用例题 1.已知扇形的圆心角为120 . 半径为 2. 则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14 计算）例题 2. 已知扇形面积为18.84 平方厘米 . 圆心角为60 . 则这个扇形的半径和周长各是多少？

3、（圆周率按3.14 计算）60随堂练习：1. 已知一个扇形的弧长为 0.785 厘米 . 圆心角为 45 . 这个扇形的半径和周长各是多少？2. 扇形的面积是 31.4 平方厘米 , 它所在圆的面积是 157 平方厘米 , 这个扇形的圆心角是多少？.例题 3.如图 . 直角三角形ABC的面积是45. 分别以B. C 为圆心 .3 为半径画圆已知图中阴影部分的面积是35.58 请问：角A是多少度？（取 3.14 ）ABC二、圆中方 . 方中圆例题 4.如图 . 左下图和右下图中的正方形边长都是2. 那么大圆、小圆的面积分别为_、 _随堂练习：1.已知外面大圆的半径是4. 里面小圆的面积是多少？（

4、答案用 表示）二、割补法例题 5.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米. 圆周率按3.14 计算）：（ 1）（ 2）232.随堂练习：求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米. 圆周率按3.14 计算）：（ 1）（2）47例题 6.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米. 圆周率按3.14 计算）：（ 1）（2）22例题 7.已知图中正方形的边长为2. 分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心. 那么图中阴影部分的面积为_（答案用表示）例题 8.根据图中所给数值 . 求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（取 3.14 ）.4随堂练习：1.根据下图中给出的数值.

5、求这个图形的外周长和面积（ 取 3.14 ）6例题 9.求图中阴影部分的面积（圆周率取 3.14 ）45 o45o20 厘米思考题图中的 4 个圆的圆心是正方形的4 个顶点 . 它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是1 厘米 . 那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？.作业：1. 半径为 4 厘米的圆的周长是 _厘米 . 面积是 _平方厘米；2.半径为 4 厘米 . 圆心角为 90 的扇形周长是_厘米 . 面积是 _平方厘米（取 3.14 ）3. 家里来客人了 . 淘气到超市买了 4 瓶啤酒 . 售货员阿姨将 4 瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示） . 捆 4 圈至少要用绳子 _厘米（ 取

6、 3.14. 接头处忽略7 厘米不计）O4. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米. 圆周率按 3.14 计算）：（ 1）（ 2）11011105.下列图形中的正方形的边长为2. 则下图中各个阴影部分面积的大小分别为_ 、 _（取3.14 ）6. 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料 . 从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？O.圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程.并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域例题：一、重叠问题例题 1.下图中甲区域比乙区域的面积大57 平

7、方厘米 . 且半圆的半径是10 厘米 . 那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率取 3.14 ）乙甲例题 2.下图中有一个等腰直角三角形ABC.一个以AB 为直径的半圆. 和一个以BC 为半径的扇形已知ABBC10 厘米图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（ 取 3.14 ）AEDCB随堂练习1.如图 17-13. 以 AB为直径做半圆 . 三角形 ABC是直角三角形 . 阴影部分比阴影部分的面积小28 平方厘米 . AB长 40 厘米求 BC的长度（ 取 3.14 ）CBA.例题 3.如图 . 直角三角形的两条直角边分别为3 和 5. 分别以三条边做了3 个半圆（直角顶点在以斜

8、边为直径的半圆上）. 那么阴影部分的面积为_435例题 4.图 1 是一个直径是3 厘米的半圆 . AB是直径如图2 所示 . 让 A 点不动 . 把整个半圆逆时针转60 .此时 B 点移动到 C点请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（取 3.14 ）C图 160AB图 2二、动态扫面积问题例题 5.如图 . 正方形 ABCD边长为 1 厘米 . 依次以 A、B、C、D为圆心 . 以 AD、BE、CF、DG为半径画出四个直角扇形 . 那么阴影部分的面积为 _平方厘米（ 取 3.14 ）EADHFCBG.例题 6.如图所示 . 以等边三角形的 B、C、 A 三点分别为圆心 . 分别以 AB、

9、 CD、AE为半径画弧 . 这样形成的曲线 ADEF被称为正三角形 ABC的渐开线 . 如果正三角形 ABC的边长为 3 厘米 . 那么此渐开线的长度为多少厘米 . 图中 I 、 II 、 III 三部分的面积之和是多少平方厘米？AIIIICDBIIE三、运动圆扫面积例题 7.图中正方形的边长是4 厘米 . 而圆环的半径是1 厘米当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时 . 其扫过的面积有多大？（ 取 3.14 ）随堂练习1. 图中长方形的长是 10 厘米 . 宽是 4 厘米 . 而圆环的半径是 1 厘米当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时. 其扫过的面积有多大？（ 取 3.1

10、4 ）.例题 8.图中等边三角形的边长是3 厘米 . 而圆环的半径是1 厘米当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时. 其扫过的面积有多大？（ 取 3.14 ）思考题如图所示 . 一只小狗被拴在一个边长为4 米的正五边形的建筑物的一个顶点处. 四周都是空地绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越. 小狗身长忽略不计 . 取 3）狗作业：1. 图 17-14 由一个长方形与两个 90 角的扇形构成 . 其中阴影部分的面积是 _平方厘米（ 取3.14 ）25图 17-142. 图中有一个矩形和两个半径分别为5 和 2 的直角扇形 . 那么两个

11、阴影部分的面积相差为_ （ 取 3.14 ）.3. 如图 . 直角三角形的两条直角边长分别是10cm和 6cm. 分别以直角边为直径作出两个半圆. 这两个半圆的交点恰好落在斜边上. 那么阴影部分的面积是2）_cm（ 取 3.14（ 17 30）6cm10cm4.图 1 是一个直径是3 厘米的半圆 . AB是直径如图 2 所示 . 让 A 点不动 . 把整个半圆逆时针转60 .此时 B 点移动到 C点请问：图中阴影部分的面积是_平方厘米（取 3.14 ）CC图 140AB图 25. 图中正方形的边长是 6 厘米 . 而圆环的半径是 1 厘米当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时 . 其扫

12、过的面积有 _（ 取 3.14 ）6. 图中等边三角形的边长是 5 厘米 . 圆形的半径是 1 厘米当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时 . 扫过的面积有 _（ 取 3.14 ）.几何计数知识总结：例题：一、枚举或分类解题利用枚举法以及分类的方法进行几何计数. 特别是对于正方形和三角形的计数问题通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类例题 1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状. 其中每一条小短边代表一个巧克力棒请问：（ 1）一共有多少个巧克力棒？（ 2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（ 3）嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边）. 剩下的图形中还

13、有多少个三角形？随堂练习1. 图中共有 _个三角形；例题 2.如图 . 它是由18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形. 其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形图中包含“”的各种大小的正三角形一共有_.例题 3.如图 . AB. CD. EF. MN互相平行 . 则图中三角形个数是_ABDEFMN例题 4.图中有多少个正方形？二、与排列组合有关的计数利用排列组合的方法进行几何计数. 特别是对于矩形和四边形的计数问题例题 5.如图 . 线段 AB. BC. CD. DE的长度都是3 厘米请问：（ 1）图中一共有多少条线段？（ 2）这些线段的长度之和是多少厘米？3厘米3厘米3厘米3厘米AB

14、CDE随堂练习1. 求图中一共有多少条线段.例题 6.求图中一共有多少条线段求图中一共有多少个矩形随堂练习1.如图 . 四条边长度都相等的四边形称为菱形 用 16 个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形 数一数 . 图中共有多少个菱形？例题 7.右图是一个长为9. 宽为 4 的长方形网格. 每一个小格都是一个正方形. 那么：1）从中可以数出_个矩形2）从中可以数出_个正方形3）从中可以数出包含_个 . 正方形有 _个随堂练习（ 1）图中包含的长方形有 _ 个包含 的正方形又有 _个（ 2）图中同时包含和的长方形有 _个.三、与容斥原理有关的几何计数例题 8.图中一共包含多少个矩形？多少个正方形？

15、随堂练习1. 图中有 _个矩形思考题用 16 个边长为 1 的等边三角形拼成一个边长为 4 的大等边三角形 . 那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形？作业1. 数一数图中一共有多少条线段？2. 图中共有 _个三角形.【分析与解】按边长分类数. 图中共有 93113 个三角形；平行四边形共有333215 个3. 在图中 . 包含的长方形共有 _个4. 图中有 _个矩形 ._ 个正方形【分析与解】图中共有718 个正方形 .19 个长方形这道题适合按大小分类数5. 图中有三角形 _个 . 梯形 _个ABC【分析与解】三角形有312318个.梯形有1212318个6. 图中有 _个正方形 ._

16、个长方形【分析与解】答案是 38.144 长方形有123 123452123123 144个.正方形有3524132 94138 个（这里给出正方形的求法比较巧妙. 如果不合适 . 请按正方形的边长分类枚举） .行程知识总结：本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题. 行程问题主要有三组共9 个基本公式：（1）路程 速度时间；速度 路程 时间；时间路程 速度；（2）相遇路程速度和时间 ； 速度和相遇路程时间；时间相遇路程速度和 ；（3）追及路程速度差时间 ； 速度差追及路程时间；时间追及路程速度差 要会灵活运用公式. 通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间此时 . 我们还经常需要

17、用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时 . 时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时 . 速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时. 时间的倍数关系等于速度的倍数关系. 但注意时间长的速度慢. 时间短的速度快例题 1.（）甲、乙两地间的路程是600 千米 . 上午 8 点客车以平均每小时60 千米的速度从甲地开往乙地 . 货车以平均每小时50 千米的速度从乙地开往甲地要使两车在全程的中点相遇. 货车必须在上午几点出发？例题 2.（）某学校组织学生去春游. 以 2 米 / 秒的速度前进. 一名学生以4 米 / 秒的速度从队尾跑到队头 . 再回到队尾 . 共用 6

18、分钟 . 那么队伍的总长为多少米？例题 3.A 城在一条河的上游. B 城在这条河的下游A、B 两城的水路距离为396 千米一艘在静水中速度为每小时 12 千米的渔船从B 城往 A 城开 . 一艘在静水中速度为每小时30 千米的治安巡逻艇从A城往B城开已知河水的速度为每小时6 千米 . 从 A 流向 B两船在距离A 城 180 千米的地方相遇巡逻艇在到达B 城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯. 于是巡逻艇立刻返回去追渔船请问巡逻艇能不能在渔船到达A 城之前追上渔船？如果能的话. 请问巡逻艇在距A城多远的地方追上渔船；如果不能的话. 请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A城例题 4.蜗牛

19、沿着公路前进. 对面来了一只兔子. 他问兔子：“后面有乌龟吗？”. 兔子回答说：“ 10分钟.前我超过了一只乌龟”. 接着蜗牛继续爬了10 分钟 . 遇到了乌龟已知乌龟的速度是蜗牛速度的10倍 . 那么兔子速度是乌龟速度的_倍例题 5.甲、乙二人相距100 米的直路上来回跑步, 甲每秒钟跑2.8 米 , 乙每秒钟跑2.2 米 . 他们同时分别在直路两端出发, 当他们跑了30 分钟时 , 这段时间内相遇了几次？例题 6.甲乙两车同时从A、B 两地出发相向而行. 两车在距离B 地 64 千米的地方第一次相遇. 相遇后两车继续原速前进. 并且在到达对方出发点之后. 立即沿原路返回. 途中在距离A点

20、48 千米处第二次相遇.问：两次相遇点距离是多少千米？例题 7.甲、乙两车分别从、两地出发 .在 、B之间不断往返行驶. 已知甲车的速度是每小时15千米 .A BA乙车的速度是每小时35 千米 . 并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距120千米.那么.、B两地之间的距离等于_ 千米A例题 8.快、中、慢3 辆车同时从同一地点出发. 沿同一公路追赶前面的一个骑车人这3 辆车分别用6分钟、 10 分钟、 12 分钟追上骑车人现在知道快车每小时走24 千米 . 中车每小时走20 千米 . 那么 .慢车每小时走多少千米？例题 9. 有甲乙丙三车各以一定的速度

21、从 A到 B. 乙比丙晚出发 10 分钟 . 出发后 40 分钟追上丙 . 甲比乙又晚出发 10 分钟 . 出发后 60 分钟追上丙 . 问 . 甲出发后多少分钟可以追上乙？.思考题一次越野赛跑中 . 当小明跑了 1600 米时 . 小刚跑了 1450 米 . 此后两人分别以每秒 a 米和每秒 b 米匀速跑 . 又过 100 秒时小刚追上小明 .200 秒时小刚到达终点 .300 秒时小明到达终点 . 这次越野赛跑的全程为多少？作业1. 现有两列火车同时同方向齐头行进. 快车每秒行 18 米 . 慢车每秒行 10 米 . 行 12 秒后快车超过慢车如果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进 . 则

22、9 秒后快车超过慢车 那么快慢两车的车长分别是几米？2. 一辆中巴车 6 点（ 24 小时制） 从 A 城出发 . 以每小时 40 千米的速度向 B 城驶去 .3 小时后一辆小轿车以每小时 75 千米的速度也从 A 出发到 B当小轿车到达 B 后 . 中巴车离 B还有 90 千米那么中巴车是几点几分到达 B 的？3. 甲、乙两人从相距为 46 千米的 A、B 两地出发相向而行 . 甲比乙先出发一个小时他们两人在乙出发后 4 小时相遇 . 又已知甲比乙每小时快2 千米 . 那么乙的速度为每小时多少千米？4.甲、乙两人分别从南北两地相对而行已知甲每分钟走50 米 . 乙走完全程要30 分钟相对而行10 分钟后 . 甲、乙仍相距100 米那么还要过多少秒钟. 甲、乙第一次相遇？5.（第三届“走进美妙的数学花园”团体对抗赛第22 题）一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水.他提空桶时每秒走3 米 . 提满桶时每秒2 米. 来回一趟需10 分钟。寺庙距河边有多少米？6.( 首师大附中考题 ) 甲 . 乙两人在一条长100 米的直路上来回跑步 . 甲的速度 3 米 / 秒 . 乙的速度 2 米 /秒。如果他们同时分别从直路的两端出发. 当他们跑了 10 分钟以后 . 共相遇了多少次？7.