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1、圆的方程练习题1求过点，且圆心在直线上的圆的方程.【答案】.【解析】试题分析：由的坐标计算可得的垂直平分线方程，进而得到：，解可得的值，即可得圆心坐标，而圆的半径，代入圆的标准方程计算即可得到答案。解析:由已知得线段的中点坐标为，所以所以弦的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线方程为 又圆心在直线上，所以 解得 即圆心为 圆的半径为所以圆的方程为. 2若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程【答案】x2+y26x6y+8=0【解析】试题分析：设所求圆的方程为将, 三点代入，即可求得圆的方程。解析：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有 得：12+2D=0
2、，D=6代入得：412+F=0，F=8代入得：2E+8+4=0，E=6D=6，E=6，F=8圆的方程是x2+y26x6y+8=03已知圆经过两点，并且圆心在直线上。(1)求圆的方程；(2)求圆上的点到直线的最小距离。【答案】（1）.（2）1【解析】试题分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；（2）结合几何图形，先求出圆心到直线的距离，再减去半径的长度即可。试题解析：（1）设圆的方程为，由已知条件有 ，解得所以圆的方程为.（2）由（1）知，圆的圆心为，半径r=4,所以圆心到直线的距离则圆上点到直线的最小距离为。点睛：解决圆中的最值问题时，一般不直接依赖纯粹的代数运算，而是借助平面几何的
3、相关知识，使得解题变得简单且不易出错。常用结论有：当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最小（大）距离为圆心到直线的距离减去（加上）半径；当点在圆外时，圆上的点到该点的最小（大）距离等于圆心到该点的距离减去（加上）半径。4已知圆C同时满足下列三个条件：与轴相切；在直线上截得弦长为；圆心在直线上.求圆的方程.【答案】.设圆方程为，则-4解得-4-2【解析】略5求圆心在直线3x+y-5=0上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程【答案】(x-2)2+(y+1)2 =5【解析】试题分析：解：设：原点O(0,0)和点A（4，0），则线段OA的垂直平分线的方程为x=2所以圆心的坐标为（2，b）又因为圆心在直
4、线3x+y-5=0上，所以32+b-5=0,b=-1, 圆心的坐标为（2，-1）r2=22+(-1)2 =5所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2 =5考点：圆的方程点评：本试题主要是考查了圆的方程的求解，属于基础题。6求圆心为（1，1）并且与直线相切的圆的方程。【答案】【解析】思路分析：点到直线的距离，所以圆的半径又圆心为，所以圆的标准方程为.考点：此题考查点到直线的距离和圆的方程.点评：简单题，知道点到直线的距离公式，求出圆的半径便可轻松解答.7求与圆x2+y22x=0外切且与直线x+3y=0 相切于点M(3,3)的圆的方程.【答案】(x4)2+y2=4 或x2+(y+43)2=36 【
5、解析】分析：先设圆标准方程，再根据两圆外切得两圆心距离等于半径之和，圆心到切线距离等于半径（或圆心与切点连线垂直切线），切点在圆上三个条件列方程组，解方程组可得所求圆方程.详解：设所求圆的方程为，则；或；或；或. 联立其中三个解得或 故所求方程为：或点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值8求圆心
6、在直线上，并且过圆与圆的交点的圆的方程.【答案】【解析】圆心，故.9已知圆心为C的圆经过三个点O(0,0)、A(-2,4)、B(1,1)(1)求圆C的方程；(2)若直线l的斜率为-43，在y轴上的截距为-1，且与圆C相交于P、Q两点，求OPQ的面积【答案】（1）x2+y2+2x4y=0；（2）2.【解析】【分析】(1)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将O(0,0)、A(-2,4)、B(1,1)代入，列方程组求解即可；(2)由圆的方程求得圆心坐标为C(-1,2)，半径为5，利用斜截式求得直线方程为y=-43x-1，即4x+3y+3=0，利用点到直线距离公式，结合勾股定理求得弦长，
7、根据三角形面积公式可得结果【详解】(1)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则F=04+16-2D+4E+F=01+1+D+E+F=0，解得D=2，E=-4，F=0圆C的方程为x2+y2+2x-4y=0；(2)圆x2+y2+2x-4y=0的圆心坐标为C(-1,2)，半径为5直线l的方程为y=-43x-1，即4x+3y+3=0圆心到直线l的距离d=|-14+23+3|42+32=1，|PQ|=2(5)2-1=4OPQ的面积S=1241=2【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:直接设出动点坐标x,y ，根据题意列出关于x,y的方程即可；根据几何意义
8、直接找到圆心坐标和半径，写出方程；待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.10已知圆C：x2+y2+10x+10y+34=0。（I）试写出圆C的圆心坐标和半径；（II）若圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程。【答案】（1）圆心坐标为（-5，-5），半径为4.（2）（x+5）2+（y-12）2=169.【解析】试题分析：（1）配方，将圆方程一般式化为标准式，即得圆C的圆心坐标和半径；（2）设圆D标准方程，根据直线与圆相切得圆心到切线距离为半径，根据垂径定理列弦长与半径关系，解方程组可得结果.试题解析：解：（I）
9、将圆的方程改写为（x+5）2+（y+5）2=16，故圆心坐标为（-5，-5），半径为4. （II）设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=（r-1）2+52，解得r=13. 此时圆心纵坐标b=r-1=12. 所以圆D的方程为（x+5）2+（y-12）2=169.11已知圆C的圆心在直线y=12x上，且过圆C上一点M(1,3)的切线方程为y=3x.（）求圆C的方程；（）设过点M的直线l与圆交于另一点N，以MN为直径的圆过原点，求直线l的方程.【答案】（1）(x4)2+(y2)2=10 （2）y=2x+5【解析】【分析】（）由题意，过M点的直径所在直线方程为y-3=-13(x-1) ,再
10、联立y-3=-13(x-1)y=12x求得圆心坐标为(4,2),再求得半径即得圆的方程. （）先求得直线ON方程为y=-13x ，由y=-13xx-42+y-22=10可得N点坐标为(3,-1) ，再利用两点式写出直线l的方程.【详解】（）由题意，过M点的直径所在直线方程为y-3=-13(x-1) y-3=-13(x-1)y=12x解得x=4y=2， 圆心坐标为(4,2) 半径r2=(4-1)2+(2-3)2=10 圆C的方程为(x-4)2+(y-2)2=10 （） 以MN为直径的圆过原点，OMON 又 kOM=3 kON=-13 直线ON方程为y=-13x 由y=-13xx-42+y-22=
11、10，可得N点坐标为(3,-1) 直线MN方程为y+13+1=x-31-3即直线l的方程为 y=-2x+5【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.12已知圆C经过原点O（0，0）且与直线y=2x8相切于点P（4，0）（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（4, 5），且与圆C相交于M，N两点，若|MN|=2，求出直线l的方程【答案】（1）x22+y12=5；（2）y=34x2或x=4【解析】【分析】（）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，求得圆心C（2，1）
12、，半径为5，可得圆C的方程(2)把圆的弦长转化为圆心到直线的距离，讨论k存在和不存在两种情况.【详解】（1）由已知，得圆心在经过点P（4，0）且与y=2x8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，所以求得圆心C（2，1），半径为所以圆C的方程为（x2）2+（y1）2=5 （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-5=k(x-4)，即kx-y+5-4k=0.因为|MN|=2，圆C的半径为，所以圆心到直线的距离d=24-2kk2+1=2,解得k=34，所以直线y=34x-2,当斜率不存在时，即直线l:x=4，符合题意综上直线l为y=34x-2或x=4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关
13、系的应用，利用直线和圆的弦长求直线的方程，注意讨论k存在和不存在两种情况，属于中档题13在ABC中，点A（7，4），B（2，9），C（5，8）(1)求ABC的面积.(2)求ABC的外接圆的方程.【答案】(1)5(2) (x2)2+(y4)2=25【解析】【分析】(1)由弦长公式求得AB的长度，由点到直线距离公式求得三角形的高，然后利用面积公式可得三角形的面积；(2)由题意利用待定系数法求解ABC的外接圆的方程即可.【详解】（1）A（7，4），B（2，9），|AB|=50=52，直线AB方程为：y-94-9=x-27-2，即x+y-11=0，点C到直线AB的距离d=5+8-112=2，SABC=
14、12|AB|d=12522=5.（2）设ABC的外接圆心为O（a,b）则，|OA|=|OB|OC|=|OB|OB|=r即a72+b42=a22+b92a52+b82=a22+b92a22+b92=r2a=2b=4c=5.ABC的外接圆方程为(x-2)2+(y-4)2=25.【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不
15、论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式14已知圆心在x轴非负半轴上，半径为2的圆C与直线x3y+2=0相切.(1)求圆C的方程；(2)设不过原点O的直线l与圆O:x2+y2=4相交于不同的两点A，B求OAB的面积的最大值;在圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l的方程为mx+ny=1，且此时OAB的面积恰好取到中的最大值?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）(x2)2+y2=4 ；（2） 2 (18,318).【解析】【分析】(1)设出圆心坐标，根据点到直线距离求得圆心，进而得到圆的方程。(2)设圆心到直线AB的距离，根据三角形面积公式和基本不等
16、式即可求得面积的最大值；根据点M在圆上，及点到直线距离等于半径即可求得M的坐标。【详解】(1)设圆心是(x0，0)(x00)，它到直线x-3y+2=0的距离是d=2解得x0=2或x0=-6(舍去)所求圆C的方程是(x-2)2+y2=4.(2)设圆心O到直线AB的距离为h则OAB的面积S=12|AB|h=1224-h2h(4-h2+h22)2=2当且仅当h=2时等号成立OAB的最大面积为2.由题得m2+n20(m-2)2+n2=4|m0+n0-1|m2+n2=2即(m-2)2+n2=4m2+n2=12即m=18n=318存在满足要求的点M，其坐标是(18,318),【点睛】本题考查了圆方程的求法，三角形面积及基本不等式的用法，点到直线距离公式的应用，属于中档题。15若圆C与y轴相切于点P(0,1),与x轴的正半轴交于A,B两点,且|AB|=2,求圆C的标准方程【答案】(x2)2+(y1)2=2【解析】【分析】先根据条件得圆心纵坐标，再根据垂径定理得圆半径，最后确定圆心横坐标，即得结果.【详解】由题意得圆C(a,1),(a0) ,再根据|AB|=2,圆心到x轴距离为1，由垂径定理得圆半径r=1+1=2，因此CP=ra2=2a0a=2，从而圆C的标准方程为(x2)2+(y1)2=2【点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本分析求解能力.属基础题.试卷第11页，总12页
