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1、圆锥曲线与方程专题复习第四节圆锥曲线的综合问题考点一 椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题1.(2013年浙江卷,文9)如图,F1,F2是椭圆C1: +y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是() (A) (B) (C) (D)解析:由椭圆定义得,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2=2,因为四边形AF1BF2为矩形,所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12,所以2|AF1|AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4,所以(|AF2|-|AF1|)2=
2、|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|AF2|=12-4=8,所以|AF2|-|AF1|=2,因此对于双曲线有a=,c=,所以C2的离心率e=.故选D.答案:D2.(2012年山东卷,理10)已知椭圆C: +=1(ab0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()(A) +=1 (B) +=1 (C) +=1 (D) +=1解析:利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.椭圆的离心率为,=,a=2b.椭圆方程为x2+4y2=4b2.双曲线x2-y2=1的渐近线方程为xy=0,渐近线xy=0与椭圆x2+4y2=4b
3、2在第一象限的交点为,由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb=4,b2=5,a2=4b2=20.椭圆C的方程为+=1.故选D.答案:D3.(2012年浙江卷,文8)如图所示,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是() (A)3 (B)2 (C) (D)解析:设椭圆的标准方程为+=1(ab0),半焦距为c1,则椭圆的离心率为e1=.设双曲线的标准方程为-=1(m0,n0),半焦距为c2,则双曲线的离心率为e2=.由双曲线与椭圆共焦点知c1=c2.由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m
4、=a.=2.故选B.答案:B4.(2011年浙江卷,文9)已知椭圆C1: +=1(ab0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则()(A)a2= (B)a2=13 (C)b2= (D)b2=2解析:双曲线渐近线方程为y=2x,圆的方程为x2+y2=a2,则|AB|=2a,不妨设y=2x与椭圆交于P、Q两点,且P在x轴上方,则由已知|PQ|=|AB|=,|OP|=,P.又点P在椭圆上,+=1.又a2-b2=5,b2=a2-5,联立解得故选C.答案:C5.(2011年山东卷,文15)已知双曲线-=1(a0,b0
5、)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为.解析:椭圆+=1的焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),离心率为e=.由于双曲线-=1与椭圆+=1有相同的焦点,因此a2+b2=7.又双曲线的离心率e=,所以=,所以a=2,b2=c2-a2=3,故双曲线的方程为-=1.答案: -=1考点二 椭圆与抛物线综合问题及解法1.(2012年山东卷,理21)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)是否存在点M,使
6、得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当k2时,|AB|2+|DE|2的最小值.解:(1)依题意知F,圆心Q在线段OF的垂直平分线y=上,因为抛物线C的准线方程为y=-,所以=,即p=1.因此抛物线C的方程为x2=2y.(2)假设存在点M (x00)满足条件,抛物线C在点M处的切线斜率为y=x0,所以直线MQ的方程为y-=x0(x-x0).令y=得xQ=+.所以Q（+,）.又|QM|=|OQ|,故（-）2+（-）2=（+）2+,因此（-）2=.又x
7、00,所以x0=,此时M(,1).故存在点M(,1),使得直线MQ与抛物线C相切于点M.(3)当x0=时,由(2)得Q（,）,Q的半径为r=,所以Q的方程为（x-）2+（y-）2=.由整理得2x2-4kx-1=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由于1=16k2+80,x1+x2=2k,x1x2=-,所以|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)(4k2+2).由整理得(1+k2)x2-x-=0.设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),由于2=+0,x3+x4=,x3x4=-.所以|DE|2=(1+k2)(x3+x4)2-4x3x
8、4=+.因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+ +.令1+k2=t,由于k2,则t5,所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+ +=4t2-2t+,设g(t)=4t2-2t+,t,因为g(t)=8t-2-,所以当t时,g(t)g=6,即函数g(t)在t上是增函数,所以当t=时,g(t)取到最小值,因此,当k=时,|AB|2+|DE|2取到最小值.2.(2012年广东卷,文20)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: +=1(ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直
9、线l的方程.解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1.将点P(0,1)代入椭圆方程+=1,得=1,即b=1.所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,设直线l的方程为y=kx+m,由消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.因为直线l与椭圆C1相切,所以1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.整理得2k2-m2+1=0.由消去y并整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0.因为直线l与抛物线C2相切,所以2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得km=1.综合,解得或所以直线
10、l的方程为y=x+或y=-x-.3.(2010年江西卷,理21)设椭圆C1: +=1(ab0),抛物线C2:x2+by=b2.(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;(2)设A(0,b),Q（3,b）,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若AMN的垂心为B（0,b）,且QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.解:(1)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),可得c2=b2,由a2=b2+c2=2c2,有=,所以椭圆C1的离心率e=.(2)由题设可知M,N关于y轴对称,设M(-x1,y1),N(x1,y1)(x10),则由AMN的垂心为B,
11、有=0.所以-+（y1-b）(y1-b)=0.由于点N(x1,y1)在C2上,故有+by1=b2.由得y1=-或y1=b(舍去),所以x1=b,故M（-b,-）,N（b,- ）,所以QMN的重心坐标为（,）.由重心在C2上得3+=b2,所以b=2,M（-,-）,N（,-）.又因为M,N在C1上,所以+=1,解得a2=.所以椭圆C1的方程为+=1.抛物线C2的方程为x2+2y=4.考点三 双曲线与抛物线的综合问题及解法1.(2013年山东卷,文11)抛物线C1:y=x2(p0)的焦点与双曲线C2: -y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p等
12、于()(A) (B) (C) (D)解析:如图在同一坐标系中画出C1、C2草图,知C1焦点F（0,）,C2右焦点F2(2,0).由C2渐近线方程为y=x.直线FF2方程为+=1.联立C1与直线FF2方程得代入得2x2+p2x-2p2=0.设M(x0,y0),即2+p2x0-2p2=0.由C1得y=x,所以x0=,即x0=p.由得p=.故选D.答案:D2.(2012年新课标全国卷,理8)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点,|AB|=4,则C的实轴长为()(A) (B)2 (C)4 (D)8解析:设双曲线的标准方程为x2-y2=(0),抛物线y2=1
13、6x的焦点是(4,0),由题意知,点(-4,2)在双曲线上.16-12=,即=4,实轴长为4.故选C.答案:C3.(2012年福建卷,理8)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()(A) (B)4 (C)3 (D)5解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),c=3,b2=c2-a2=5.双曲线的渐近线方程为y=x,焦点(3,0)到y=x的距离d=.故选A.答案:A4.(2012年山东卷,文11)已知双曲线C1: -=1(a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为
14、()(A)x2=y (B)x2=y (C)x2=8y (D)x2=16y解析:由e=2得4=1+,=3.双曲线的渐近线方程为y=x,抛物线x2=2py的焦点是（0, ）,它到直线y=x的距离d=2=,p=8.抛物线方程为x2=16y.故选D.答案:D5.(2010年天津卷,文13)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 .解析:由双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x得=,b=a.抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),c=4.又c2=a2+b2,16=a2+(a)2,a2=4,b2=12.所求双曲线的方
15、程为-=1.答案: - =16.(2013年天津卷,文11)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.解析:由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2, =2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.答案:x2-=1考点四 圆锥曲线与圆的综合问题及解法1.(2013年福建卷,文20)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;(2)若|AF|2=|AM|AN|,求圆C的半径.解:(1)
16、抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.由点C的纵坐标为2,点C在抛物线E上,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CN|=|CO|=,所以|MN|=2=2=2.(2)设C（,y0）,则圆C的方程为（x-）2+(y-y0)2=+,即x2-x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则由|AF|2=|AM|AN|,得|y1y2|=4,所以+1=4,解得y0=,此时0.所以圆心C的坐标为（,）或（,-）,从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.2.(2013年新课标全国卷,文20)在平面直角坐标系xOy中,已知
17、圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0).由已知得=.又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得由得 此时,圆P的半径r=.由得 此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.3.(2013年重庆卷,文21)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A两点, =4. (1
18、)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P,过P、P作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求PPQ的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1,又e=,故b2=8,从而a2=16.故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+8（1-）=(x-2x0)2-+8(x-4,4).设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,当x=x1时|QM|2取最小值,又x1(-4,4),所以当x=2x0时|QM|2取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.由对称性知P(x1,-y1),故|PP|=|2y1|,所以S=|2y1|x1-x0|=2|x0|=.当x0=时,PPQ的面积S取得最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(,0),半径|QP|=,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.
