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1、空间中常用图形及其方程,1.平面的点法式方程,一、平面的方程,2.平面的一般方程,x轴上截距,y轴上截距,z轴上截距,3.平面的截距方程,1.直线的一般方程,二、直线的方程,2.直线的点向式方程,3.直线的参数方程,1.球面的方程,三、常用的曲面方程,2.旋转曲面的方程,3.柱面的方程,4.二次曲面方程,四、常用的曲线方程,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,旋转曲线称为旋转曲面的母线，这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义
2、,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一
3、条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋
4、转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,建立旋转曲面S的方程：,设点M1(0,y1,z1)在曲线C上，从而有f(y1,z1)=0,设点M(x,y,z),且有,解,圆锥面方程,例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双叶双曲面,旋转单叶双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观
5、察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的
6、形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程
7、:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,柱面举例,抛物柱面,平面,二元方程F(x,y)=0 在空间表示的曲面S是什么？,例,椭圆柱面/轴,双曲柱面/轴,抛物柱面/轴,平面/轴,、/轴,三元二次方程的图形曲面称为二次曲面,了解(画)曲面的形状的一种方法：,用坐标面和平行于坐标面的平
8、面与曲面相截，通过考察其交线（即截痕）的形状来了解曲面的形状,几种特殊的二次方程的曲面：,四、二次曲面,截痕法。,1、方程,曲面与坐标面的交线：,椭圆,曲面与平面 的交线,椭球面,2、方程,曲面与坐标面的交线：,椭圆,曲面与平面 的交线,单叶双曲面,双曲线,3、方程,曲面与坐标面的交线：,双曲线,椭圆,双叶双曲面,4、方程,曲面与坐标面的交线：,抛物线,椭圆,抛物面,5、方程,曲面与坐标面的交线：,抛物线,双曲线,双曲抛物面（马鞍面）,*6、方程,（椭圆）锥面,*7、方程,（椭圆）柱面,*8、方程,（双曲）柱面,*9、方程,（抛物）柱面,*10、方程,一对（相交）平面,*11、方程,一对（平行
9、）平面,二次曲面只有这十一种形状。,空间曲线及其方程,空间曲线的一般方程。,空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.,一、一般方程,例1 方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,表示它们的交线，,为椭圆。,*例2 方程组 表示怎样的曲线？,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,空间曲线的参数方程。,二、参数方程,得螺旋线的参数方程,解,取时间t为参数，并设 t=0 时动点M位于 A(a,0,0)点。,于是，在 t 时刻，M(x,y,z)转过的弧度为=t，上升的高度为 vt，,给定空间曲线 C，称以 C 为准线、母线/z 轴的柱面为 C 关于 xOy 面的投影柱面，此柱面与 xOy 面的交线为 C 在xOy面上的投影（曲线）。,三、空间曲线在坐标面上的投影,投影曲线 的求法：,设 C：,如图，投影曲线的求解过程：,空间曲线,投影曲线,投影柱面,例4 求曲线 在各坐标面上的投影.,解,（1）消去变量z后得,在 面上的投影为,所以在 面上的投影为线段,（3）同理在 面上的投影也为线段,（2）因为曲线在平面 上，,(例4 求曲线 在各坐标面上的投影.),补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,例5,解,上半球面和锥面的交线为,
