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1、装箱问题和排序问题,本讲主要内容,装箱问题（Bin Packing）最小完工时间安排（排序问题）（Minimum Makespan Scheduling),Bin Packing,装箱问题：给定n个物件，大小为 用单位体积的箱子来装这些物件，找一个装箱方案使得所用的箱子数目最少？通俗地说，把 分成最少的组数，使得每组数的和不超过1。在工业中有许多应用，譬如在下料问题中，箱子代表标准木料的长度，而 表示实际问题中需要裁截成的木料长度。当然，需要的标准料越少越好。,一个2倍近似算法,证明,一个不可逼近性结果,NP-难问题按照其可逼近性分类,多项式时间近似方案（Polynomial Time App
2、roximation Scheme,PTAS),渐近多项式时间近似方案,一个渐进的PTAS,限制装箱问题,限制装箱问题,定理2的证明,算法总结,排序问题,排序问题（Minimum Makespan Scheduling）给定n个工件 的加工时间 以及一个整数m，给工件安排一个在m个相同机器上的加工顺序，使得最后的完工时间（makespan）最小。该问题是排序问题中最简单的问题。在生产调度中有广泛的应用。,Graham 的2-近似算法,算法描述（List Scheduling）Step 1.将工件任意排序；Step 2.将工件按照上述顺序分配给机器，将下一 个工件安排给当前负荷最轻（剩余加工时
3、间最少）的机器。直到所有工件加工完毕.,算法分析,上述算法的要点是，让机器不要闲着，只要有机器加工完，就把排在最前面尚待加工的工件让该机器去做。算法分析的要点是：最小makespan取决于最后一个工件的完工时间，在最后一个活开始加工之前，没有机器是空闲的。,一个紧的例子,Lowest Fit Decreasing（LFD）,算法描述（LFD）Step 1.将工件按工时从高到低排列；Step 2.将工件按照上述顺序分配给机器，将下一 个工件安排给当前负荷最轻（剩余加工时 间最少）的机器。直到所有工件加工完毕.,排序问题的PTAS,排序问题与装箱问题有如下紧密联系：排序问题存在最优解t，当且仅当n
4、个大小分别为 的物件可以装入m个容量为t的箱子。因此，可将排序问题自转化为装箱问题：令I表示n个物件大小；令 表示能装下n个物件的容量为t的箱子的最少数目；则最小排序问题转化为：,基本思想,不同物件型号数目固定的装箱问题,动态规划,动态规划（续）,动态规划（续）,把排序问题划归为限制装箱问题,基本思想：如果我们能容忍在计算最小makespan问题的一点小的误差，则我们可把该问题在多项式时间内划归为限制装箱问题。主要有两种类型的误差：把物件的尺寸做一些调整，使得不同尺寸的数目有界。终止二分搜索，保证多项式时间算法。每种误差都可以做到任意小，但代价是计算时间的增加。但对固定的误差，我们可以得到多项式时间近似算法。,箱子容量固定的装箱算法(核心算法）,核心算法（续）,二分搜索法,二分搜索,LB,2LB,t3,T2,T1,Thanks,End,
