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1、4.2 傅里叶级数,傅里叶级数的三角形式 波形的对称性与谐波特性 傅里叶级数的指数形式 周期信号的功率Parseval等式,一、傅里叶级数的三角形式,1.三角函数集,在一个周期内是一个完备的正交函数集。,由积分可知,1,cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,2级数形式,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数,系数an,bn称为傅里叶系数,可见，an 是n的偶函数，bn是n的奇函数。,其他形式,式中，A0=a0,上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。A0/2为直流分量 A1cos(
2、t+1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同 A2cos(2t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。,可见：An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为,二、波形的对称性与谐波特性,1.f(t)为偶函数对称纵坐标,bn=0，展开为余弦级数。,2.f(t)为奇函数对称于原点,an=0，展开为正弦级数。,例,3.f(t)为奇谐函数f(t)=f(tT/2),此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=b2=b4=0,4 f(t)为偶谐函数f(t)=f
3、(tT/2),此时 其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即 a1=a3=b1=b3=0,三、傅里叶级数的指数形式,三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。,系数Fn 称为复傅里叶系数,利用 cosx=(ejx+ejx)/2可从三角形式推出：,推导,虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，,傅里叶系数之间关系,n的偶函数：an，An，|Fn|n的奇函数:bn，n,四、周期信号的功率Parseval等式,直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。n0时，|Fn|=An/2。,周期信号一般是功率信号，其平均功率为,这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。,证明,
