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1、,第六节,复习 目录 上页 下页 返回 结束,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,多元函数微分学的几何应用,第九章,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,点击图中任意点动画开始或暂停,1.曲线方程为参数方程的情况,切线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为曲线的切向量.,切线的方向向量:,如个别为0,则理解为分子为 0.,不全为0,此处要求,也是法平面的法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此得法平面方程,说明:若引进向量函数
2、,则,处的导向量,就是该点的切向量.,解,所以在该点处的切向量为,所求切线方程为,法平面方程为,即,例1.,例2.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,即,解:由于,对应的切向量为,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,2.曲线为一般式的情况,光滑曲线,当,曲线上一点,且有,时,可表示为,处的切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,也可表为,法平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求曲线,在点,M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1 令
3、,则,即,切向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法平面方程,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2.方程组两边对 x 求导,得,曲线在点 M(1,2,1)处有:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,点 M(1,2,1)处的切向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面方程:F(x,y,z)=0,M(x0,y0,z0)是曲面上一点,二、曲面的切平面与法线,取一条通过点M的曲线:,设 t=t0 对应点 M,则 在点 M 的切向量为 T=(f(t0),y(t0),w(t0),下面证明:,此平面称为 在该点的切平面.,上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证,曲
4、线 在曲面上,Ff(t),y(t),w(t)0,两边在 t=t0 处求导,得,Fx(x0,y0,z0)f(t0)+Fy(x0,y0,z0)y(t0),+Fz(x0,y0,z0)w(t0)=0,令 T=(f(t0),y(t0),w(t0),n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0),由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以 n 为法向的平面上.,n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0),法线方程,切平面方程,Fx(x0,y0,z0)(x x0)+Fy(x0,y0,z0)(y y0),+Fz(x0,y0,z0)(z z
5、0)=0,切平面方程,法线方程,令 F(x,y,z)=f(x,y)z,特别,曲面方程为显式 z=f(x,y),Fx=fx,Fy=fy,Fz=1,法向量 n=(fx,fy,1),fx(x0,y0)(x x0)+fy(x0,y0)(y y0)(z z0)=0,切平面上点的竖坐标的增量,曲面 z=f(x,y)在 M 处的切平面方程为,全微分的几何意义,z z0=fx(x0,y0)(x x0)+fy(x0,y0)(y y0),z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分,法向量,用,将,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习 目录 上页 下页 返回 结束,法向量的方向余弦：,例4.
6、求球面,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,所求切平面方程为(x 1)2(y+2)+3(z 3)=0,即 x 2y+3z 14=0,所求法线方程为,求球面 x2+y2+z2=14 在点 M0(1,2,3)处的,切平面和法线方程.,令 F(x,y,z)=x2+y2+z2 14,则 n=(Fx,Fy,Fz),=(2x,2y,2z),例5.,解,设(x0,y0,z0)为曲面上的切点,由于切平面平行于已知平面,得,求曲面 x2+2y2+3z2=21 平行于平面,x+4y+6z=
7、0 切平面方程.,法向量 n=(2x0,4y0,6z0),2x0=y0=z0,又因为切点(x0,y0,z0)满足曲面的方程,求得 x0=1,切点为(1,2,2),例6.,故,法向量 n=(1,4,6),切点为(1,2,2),切平面方程:,化简,得,1(x 1)+4(y 2)+6(z 2)=0,1(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0,x+4y+6z=21,1.空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1)参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2)一般式情况.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间
8、光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1)隐式情况.,的法向量,切平面方程,2.曲面的切平面与法线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2)显式情况.,法线的方向余弦,法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.如果平面,与椭球面,相切,提示:设切点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),2.求曲线,在点(1,1,1)的切线,解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P100 习题 9-64.6.7.8.,
