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1、工程随机过程复习提要,一、特征函数 1.会求给定分布的随机变量的特征函数 2.会利用特征函数的几个简单性质进行求解（1）线性变换的特征函数（2）独立随机变量和的特征函数（3）独立随机变量线性组合的特征函数,二、随机过程的基本概念及分类 1.随机过程的一维分布求解 2.简单随机过程的二维分布求解 3.随机过程的数字特征的求解（1）均值函数（2）自相关函数（3）协方差函数（4）方差函数 4.几个常见随机过程的特性（1）正态过程（2）Poisson过程（3）维纳过程,三、马尔科夫过程 1.马尔科夫链（1）一步转移概率矩阵的求解（2）利用一步转移概率矩阵判断各状态（3）利用一步转移概率矩阵求解高阶转移
2、概率矩阵（4）常返态和非常返态的判定（5）马尔可夫链预测（6）马尔可夫链的平稳分布的求解 2.时间连续、状态离散的马尔可夫链（1）利用向前、向后方程求解转移概率函数,四、平稳过程 1.宽平稳过程的判定 2.二阶矩过程的定义 3.均方极限的定义,五、时间序列分析 1.三个线性模型的基本性质（1）AR(p)模型的平稳性判定（2）MA(q)模型的可逆性判定（3）ARMA(p,q)模型的平稳性和可逆性判定 2.自相关函数的求解（1）MA(q)模型自相关函数的求解（2）AR(p)模型的自相关函数的求解,例1 设随机过程X(t)=Xcos(t)(t+)，其中为常数，X是服从正态分布的随机变量，E(X)=0
3、，D(X)=1。求X(t)的一维分布密度函数和协方差函数。,例2 设随机过程X(t)和任一实数x，定义随机过程如下证明：Y(t)和RY(t1,t2)分别是X(t)的一维和二维分布函数。,例3 设有随机过程X(t)，tT和常数a，试以X(t)的相关函数表示随机过程Y(t)=X(t+a)X(t)，tT的相关函数。,例4 设Z(t)=X+Yt，t+。若已知二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，求Z(t)的协方差函数。,例5 设有独立重复试验序列xn,n1。以Xn=1记第n次试验时事件A发生，且PXn=1=p；以Xn=0记第n次试验时事件A不发生，且PXn=0=1p=q。求k步转移概率矩阵。,例6 设
4、xn,nT是一个齐次马尔科夫链，其状态空间E=a,b,c，转移概率矩阵为,例7（天气预报问题）设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。因此问题是两个状态的马尔科夫链。求今天有雨且第四天仍有雨的概率（取=0.7，=0.4）,例8 甲乙两人进行一场比赛，设每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，和局的概率为r，且p+q+r=1.设每局比赛胜者记1分，负者记-1分，和局记零分。当有一人获得2分时比赛结束。以Xn表示比赛至n局时甲获得的分数，则Xn，n1是齐次马尔可夫链。（1）写出状态空
5、间E；（2）求出二步转移概率矩阵；（3）求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率。,例9 设E=1,2,3,4，其一步转移概率矩阵为试对其状态进行分类，确定哪些状态为常返态。,例10 已知马尔可夫链xn,n0的状态空间为E=1,2,3,4，其一步转移概率矩阵如图所示，试对其状态进行分类并判断哪个是常返态。,例11 设一马尔可夫链的转移概率矩阵为讨论此马氏链的遍历性。,例12 设齐次马氏链的转移概率矩阵为讨论马氏链的遍历性，并求其平稳分布。,例13 如图给出了六个车站间的公路连通情形。设汽车每天从一个车站驶向一直接相邻的车站，并当晚到达该站留宿，次日继续相同的活动。设每天汽车开往临近任一车站都
6、是等可能的，试证明经很长时间后，各站每晚留宿的汽车比例趋于稳定，求出这个比例。,例14 设参数连续、状态离散的马尔科夫过程X(t),t0，其状态空间为E=1,2,m，当i j且 i,j=1,2,m时，qij=1；当i=1,2,m时，qii=(m1)。求pij(t)。,例15 设有正弦波过程X(t)=Acos(t+)，其中振幅A、角频率是常数，相位是在,上服从均匀分布的随机变量，求X(t)的均值与相关函数，判断X(t)，tT是否是平稳过程？,例16 设X(t)，t(,+)是一个零均值的平稳过程，且不恒等于一个随机变量，问X(t)+X(0)，t(,+)是否仍是平稳过程？,例17 设X(t)，tT是
7、一均方可微的实平稳过程，令，tT，证明Y(t),tT是实平稳过程。,例18 给定一个随机变量，其特征函数为(v)，另给定常数，构造一个随机过程X(t)=cos(t+)，证明：当且仅当(1)=(2)=0时，X(t)是平稳过程。,例19 设随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生：X(t,e1)=1，X(t,e2)=sint，X(t,e3)=cost。（1）求均值和相关函数；（2）讨论X(t),tT是否为平稳过程。,例20 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，求Z(t)的均值函数和相关函数，并讨论Z(t)的平稳性。,例21 判断下列线性模型的平稳性和可逆性：,例22 已知MA(2)模型Xt=at-at-1+0.24at-2，求相关函数。,例23 已知MA(2)模型Xt=at+0.5at-1-0.3at-2，求相关函数。,例24 已知AR(2)模型Xt-0.1Xt-1-0.4Xt-2=at，求相关函数。,
