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1、,数字信号处理(Digital Signal Processing),国家电工电子实验示范中心 数字信号处理课程组,3.1 FT,FS;3.2 DTFT;3.3 抽样定理;3.4 DFS;3.5 DFT;3.6 DFT的性质;3.7 DFT的使用;3.8 关于正弦信号的抽样,傅立叶变换是信号分析与处理的基本工具,第3章 离散傅里叶变换,1.傅立叶级数,3.1 连续信号的傅立叶变换,傅立叶系数 是第 次谐波的系数,所以 在频率坐标轴上是离散的,间隔是。,2.傅立叶变换:,FT,FS:,若 是非周期信号,可以认为:,由,有,1.对应连续非周期 对应连续周期;2.连续 离散3.密度 强度,请深刻理解
2、FS和FT的定义,及它们的区别与联系!,FT存在的必要条件:,说法1:,说法2:,因为,因为,所以,如果 是绝对可积的,那么它一定是平方可积的,但是反之不一定成立。例如,,是平方可积的,但不是绝对可积的。所以,取 更稳妥(即更严格)。,周期信号:可以实现傅里叶级数的分解,属于功率信号;非周期信号:可以实现傅里叶变换,属于能量信号;,在经典数学的意义上是不可实现的,但在引入了奇异函数后可以实现。,周期信号,FS,例:令 求其傅立叶变换。,因为:所以,严格意义上的傅立叶变换不存在,可将其展开为傅立叶级数:,现利用 函数 将 作傅立叶变换:,线谱,Discrete Time Fourier Tran
3、sform,DTFT,3.2 离散时间信号的傅里叶变换,DTFT和Z变换的关系!,(一)定义,1.是离散的,所以变换需要求和;,2.是 的连续函数;,3.是 的周期函数,周期为;,4.存在的条件是 空间,(二)特点,可以看作是将 在频域展开为傅立叶级数,傅立叶系数即是;,5.DTFT,7.由 可以得到 的幅度谱、相位谱及能量谱,从而实现离散信号的频频分析;,6.是 在单位圆上取值时的 变换:,8.反变换,四种傅立叶变换:,时域,频域,1.连续非周期 连续非周期()FT2.连续周期 离散非周期()FS3.离散非周期 连续周期()DTFT4.离散周期 离散周期 DFS,?,切实理解四种FT之间的对
4、应关系,四种傅立叶变换,(三)性质1.线性,2.移位,3.奇偶、虚实性质,如果 是实信号,即,4.如果,则:,时域卷积定理 频域卷积定理!,6.时域相关定理,互相关:,自相关:,自相关函数的 DTFT 始终是 的实函数!,7.Parsevals 定理,注意:Parsevals 定理有着不同的表示形式;:上述关系只对能量信号成立;,8.WienerKhinchin 定理,对功率信号,其自相关函数定义为:,定义:,说明:1.在 内的积分等于信号的功率,所以称 为功率谱,同理,为能量谱;,2.始终是 的实函数;,3.相关函数和功率谱是随机信号分析与处理的主要工具,它们都需要靠“估计”得到,这就形成了
5、丰富的“估值理论”。,4.,思考:由功率谱是否可以得到原信号,?,例1:,(四)应用,越大,主瓣越窄,函数,过零点,例2.信号截短:,注意:所有有限长的信号都应看作一 无限长的信号和一矩形窗相乘 的结果。关键是对频域的影响。,两个线谱和 函数的卷积:,窗函数频谱:峰值左、右第一个过零点之间的距离称为主瓣,主瓣外第一个峰值称为边瓣。我们希望主瓣的宽度越小越好,边瓣的幅度越小越好。若想分辨出 两个谱峰,数据的长度:,是矩形窗主瓣的宽度,例3:,3.3 抽样定理,现研究信号抽样的数学模型:,周期延拓,无穷迭加,迭加后可能产生的影响,或,要求:,若保证,相等,则,可 保 留,全部信息,1.做频谱分析,
6、了解 的行为;,2.使用抗混迭滤波器,限制 的范围。,如果抽样频率不满足要求,将出现频谱的混迭(Aliasing),将无法恢复原信号。,如何由 重建出,工程上:使用 D/A 转换器;,在满足抽样定理的情况下,的一个周期即等于,因此,可截取之。,?,理论上:导出如下:,其余为零,如何对 作频谱分析,显然:,3.4 离散傅立叶级数(DFS),周期序列,?,离散、非周期,FS:,离散、周期,即:是周期的,周期是,间隔是,是周期的,周期是,间隔是,所以,各取一个周期,有:,此即DFS!,DFS 中,仍取无穷长,实际上没必要!,改为,从实际上,当我们在计算机上实现信号的频谱分析时,要求:时域、频域都是离
7、散的;时域、频域都是有限长;,FT、FS、DTFT、DFS 都不符合要求 但利用DFS的时域、频域的周期性,各 取一个周期,就形成新的变换对:,从原理上,和 的各自一个周期即可表示完整的序列;,为什么要由DFS过渡到DFT?,这一对式子,左、右两边都是离散的,有限长,因此可方便地用来实现频谱分析。但使用时,一定要想到,它们均来自DFS,即 和 都是周期的!,3.5 离散傅立叶变换(DFT),DFT 的图形解释,Z变换、DTFT、DFT 的取值范围,关系:,DFT的性质:,1.线性,2.正交性,3.循环移位,为实序列:,4.奇、偶、虚、实对称性质,5.Parsevals 定理,6.循环卷积,线性
8、卷积,都是 点序列,当和DFT联系起来时,注意到 都是以 为周期的周期序列。移位时移进也有出。,循环卷积定义为:,点序列,DFT对应周期信号,所以,及 都是周期的!,为什么有循环卷积,?,3.6 用 DFT 计算线性卷积,都是非周期,没有全部进入,如何实现卷积全部进入再卷积,又如何保证实时实现,长序列卷积的计算:,数字信号处理的优势是“实时实现”,即信号进来后,经处理后马上输出出去。然而:,?,关键是将 分段和 卷积,将 分成 段,每段长,?,Overlap add method 叠接相加法Overlap save method 叠接舍去法,自己看书及使用MATLAB文件来掌握,另外:较短(F
9、IR:长度在2050之间,IIR:尽管无限长,但有限长度要小于50),可能很长,也不适宜直接卷积。,一、分辨率 分辨率问题是信号处理中的基本问题,包括频率分辨率和时间分辨率。频率分辨率:通过频域窗观察到的频率宽度;时间分辨率:通过时域窗观察到的时间宽度;,3.7 与DFT有关的几个问题,频率分辨率又可定义为:将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力。频率分辨率:一是取决于信号的长度,二是取决于频谱分析的算法。时间和频率是描述信号的两个主要物理量,它们通过傅里叶变换相联系。,对 FT:设 长度为,则,的分辨率,?,对 DTFT:设抽样间隔为,则,用计算机分析和处理信号时,信号总是有限长,其长度即是
10、矩形窗的宽度,要想分辨出 处的两个频谱,数据长度必须满足:,对DFT:,此为 相邻两点的频率间隔,也是最大分辨“细胞”。若要分辨出 处的两个谱峰,必须大于。,例:,试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。,在本例中,最小的,由,有,即要想分辨出这三个谱峰,数据的长度至少要大于1000,从DFT的角度看若令,则,下图,分别等于256和1024,可见,时无法分辨三个谱峰。,使用DFT的步骤:,由信号的最高频率 确定抽样频率;,根据分辨率的需要,确定 数据长度;,根据 DFT 的结果,再适当调整参数。,要根据分辨率的要求确定模拟信号的长度,若 可以无限长,则,DFT和线性卷积是信号处理中两个最重要的
11、基本运算,有快速算法,且二者是“相通”的。,不变,若增加,“计算分辨率”,不能提高分辨率,没有增加数据有效长度!,例:,数据后补零的影响:为什么要补零?,数据过短,补零后可起到一定的插值作用;使数据长度为 2 的整次幂,有利于FFT。,(几根谱线?),补 个零(?),补7 个零,补29 个零,三个正弦,二、DFT 对 FT 的近似,问题的提出:,只要满足抽样定理;做 DFT 时数据的长度保证所需的频率分辨 率;则 是 的极好近似。,为什么 不是 的准确抽样关键取决于信号时宽带宽的不定原理:,信号的时宽,信号的带宽,?,所以,若信号是有限时宽的,那么在频域必然是无限带宽的,反之亦然。这一现象也可
12、从加窗的角度来理解,即矩形窗的频谱是无限宽的。这一现象,来自傅立叶变换的性质:,做 DFT 时,总不可避免的取有限长,“有限长”带来了 对 的近似。,要求:1.由图,搞清(3.7.8)(3.7.14)式的含义;,总结在导出DFT的过程中,有几个“周期延 拓”?,3.理解例 3.7.4 和例 3.7.5;,问题的提出:,3.8 关于正弦信号的抽样,抽样定理对正弦信号成立否?,问题是:正弦信号的带宽为零!,窄带信号抽样定理:若信号 的频谱仅在 的范围内有值,我们称该信号为窄带信号。若保证,则可由 恢复。,抽样定理对正弦信号成立否?,问题的关键是由于正弦信号是一类特殊的信号,特殊在它是单频率信号,带
13、宽为零,所以要单独考虑。,又:,?,正弦信号抽样的不确定性,几点建议:1.抽样频率应为正弦频率的整数倍;2.抽样点数应包含整周期,数据长度 最好是2的整次幂;3.每个周期最好是四个点或更多;4.数据后不要补零。,按以上要求,对离散正弦信号做 DFT 得到的频谱正好是线谱,完全等同于连续正弦信号的线谱。,3.9 二维傅立叶变换,多用于图像处理:,先对行作DFT,作 次,对其中间结果,再对列作变换,作 次。或反之。,例:2D Hamming 窗及其频谱,时域窗,频谱,3.11 Hilbert 变换,信号处理中重要的理论工具,有何用途?,令:,的解析(Analytic)信号,解析信号 的频谱只有正频
14、率成分!显然,若对 抽样,抽样频率可降低一倍。另外,做时频分析时,可减轻正、负频率处的交叉干扰。,Hilbert 反变换:,例:若,可求出:,正、余弦函数构成一对 Hilbert 变换,离散信号的 Hilbert 变换:,如何有效的计算Hilbert变换?,Step 1.对 做 DFT,得:,Step 2.令,Step 3.对 做逆 DFT,得,Hilbert 变换的性质:,信号通过Hilbert变换器后,幅度谱不发生变化;,但我们并不把Hilbert变换看作是正交变换,?,2.信号和其Hilbert变换是正交的:,3.卷积性质,实因果信号傅立叶变换的一些内部关系:,实因果信号,直角坐标,极坐标,取对数,与本章有关的 MATLAB 文件,fftfilt.m 用叠接相加法实现卷积。格式是 y=fftfilt(h,x)或 y=fftfilt(h,x,N)记 的长度为,的长度为。若采用第一个调用方式,程序自动地确定对 分段的长度 及做FFT的长度,显然,是最接近 的2的整次幂。分的段数为。采用第二个调用方式,使用者可自己指定做FFT的长度。建议使用第一个调用方式。,hilbert.m 文件用来计算信号的解析信号。调用的格式是:y=hilbert(x),y的实部就是,虚部是 的Hilbert变换。即,