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1、122 物质波 不确定关系,回顾所学:,1.物质波是一种什么波?,2.什么是实物粒子的波粒二象性?,一.物质波 实物粒子的波粒二象性,光的干涉、衍射等现象证实了光的波动性；热辐射、光电效应和康普顿效应等现象又证实了光的粒子性。光具有波-粒二象性。,德布罗意波在光的二象性的启发下，提出了与光的二象性完全对称的设想，即实物粒子（如电子、质子等）也具有波-粒二象性的假设。,德布罗意,不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子(如电子、原子、分子等)也都具有波粒二象性;具有确定动量 P 和确定能量 E 的实物粒子相当于频率为 和波长为 的波,二者之间的关系如同光子和光波的关系一样,满足：,德布罗意假设：,这种
2、和实物粒子相联系的波称为 德布罗意波 或 物质波。,例：电子在电场里加速所获得的能量,电子的德布罗意波长,德布罗意公式,X射线范围,玻尔氢原子量子化条件与驻波条件是等效的。,将德布罗意关系式,代入即得,玻尔理论中的角动量量子化条件,电子束在晶体表面散射实验时，观察到了和X射线在晶体表面衍射相类似的衍射现象，从而证实了电子具有波动性。,1)戴维孙-革末实验（1927）,德布罗意假设的实验证明,电子衍射实验,多晶 铝 箔,电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象,2)、汤姆逊（1927）,3)、约恩逊（1960）,单缝衍射,双缝衍射,三缝衍射,四缝衍射,例 计算m=0.01kg，V=300m/s的
3、子弹的德布罗意波长.,极其微小，宏观物体的波长小得实验难以测量，“宏观物体只表现出粒子性”,因Vc,故有,波函数及其统计解释,物质波波函数,1926年玻恩指出物质波是一种概率波，它描述了粒子在各处出现的概率。,即波函数的物理意义：,电子数 N=7,电子数 N=100,电子数 N=3000,电子数 N=20000,电子数 N=70000,单个粒子在哪一处出现是偶然事件；,大量粒子的分布有确定的统计规律。,出现概率小,出现概率大,电子双缝干涉图样,在经典力学中，质点（宏观物体或粒子）在任何时刻都有完全确定的位置、动量、能量等。由于微观粒子具有明显的波动性，以致于它的某些成对物理量（如位置坐标和动量
4、、时间和能量等）不可能同时具有确定的量值。,位置与动量的不确定性关系,下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题,二.不确定关系,电子可在缝宽 范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不确定量就是缝宽，电子在 x方向的动量不确定量:,若考虑次级衍射:,只考虑一级衍射:,一般有:,严格的理论给出的不确定性关系为：,它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量 越小，动量的不确定量 就越大，反之亦然。因此不可能用某一时刻的位置和动量描述其运动状态。轨道的概念已失去意义，经典力学规律也不再适用。,首先由海森堡给出(1927)海森堡不确定性关系(海森堡测不准关系),-微观粒子的“波粒二象
5、”性的具体体现,由于,根据不确定性关系得,解：枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定 量。,和子弹飞行速度每秒几百米相比,这速度的不确定性是微不足道的,所以子弹的运动速度是确定的。,例 设子弹的质量为0.01,枪口的直径为0.5。试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。,原子线度为10-10m,计算原子中电子速度的不确定度。,解：,P=m V,例,按经典力学计算，氢原子中电子的轨道速度 V 106 ms-1。,物理量与其不确定度一样数量级，物理量没有意义了！,在微观领域内，粒子的轨道概念不适用！,123 波函数 薛定谔方程及简单应用,你知道吗？,1.物质波波函数的统计意义?,2.一维定态薛
6、定谔方程的物理意义?,对于微观粒子，牛顿方程已不适用。,一 一维自由粒子波函数,一个沿 x 轴正向传播的频率为 的平面简谐波:,用指数形式表示：,波的强度,取复数实部,微观粒子的运动状态 描述微观粒子运动基本方程,对于动量为P、能量为 E 的一维自由微观粒子，根据德布罗意假设，其物质波的波函数相当于单色平面波，类比可写成：,量子力学中一维自由粒子波函数的一般形式,这里的和 一般都为复数。,波函数的统计意义,电子双缝衍射,波的强度-振幅的平方,dV=dx dy dz,单位体积内粒子出现的概率,玻恩（M.Born)的波函数统计解释:,出现在 dV 内概率：,概率密度：,波函数本身无直观物理意义，只
7、有模的平方反映粒子出现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波。,t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV 中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。,二.波函数的标准化条件和归一化条件,1、单值：在一个地方出现只有一种可能性；,2、连续：概率不会在某处发生突变；,3、有限,4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1,即：,波函数归一化条件,波函数统计诠释涉及对世界本质的认识争论至今未息,哥本哈根学派,爱因斯坦,波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一,三.薛定谔方程(1926年),描述微观粒子在外力场中运动的微分方程。,质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V(r,t)，薛定谔方程为,粒
8、子在稳定力场中运动，势能函数 V(r)、能量 E 不随时间变化，粒子处于定态，定态波函数写为,由上两式得,定态薛定谔方程,粒子能量,(1)求解 E（粒子能量）(r)（定态波函数）,(2)势能函数 V 不随时间变化。,一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动),描述外力场的势能函数,说明,四.用薛定谔方程解一维无限深势阱,若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。,为了简化计算，提出理想模型无限深势阱。,一维无限深势阱：,保守力与势能之间的关系：,在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0。,势阱内的一维定态
9、薛定谔方程为：,解为：,由边界条件得：,据归一化条件，得,得波函数表达式：,(1)粒子能量不能取连续值,得,能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。,由,讨 论：,（2）粒子的最小能量不等于零,最小能量,也称为基态能或零点能。,零点能的存在与不确定度关系协调一致。,(3)粒子在势阱内出现概率密度分布,不受外力的粒子在0到 a 范围内出现概率处处相等。,量子论观点：,经典观点：,（4）有限深势阱，粒子出现的概率分布,如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于势璧，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。,经典理论无法解释，实验得到证实。,得到两相邻能级的能量差,例 设想一电子在无限深
10、势阱，如果势阱宽度分别 为1.010-2m和10-10m。试讨论这两中情况下 相邻能级的能量差。,解：根据势阱中的能量公式,当a=1cm时,可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。,在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。,当a=10-10m时,在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。,可见能级的相对间隔 随着n的增加成反比地减小。当 时，较之 要小的多。这时，能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可以看作是量子物理中量子数
11、 时的极限情况。,当n1 时,能级的相对间隔近似为,五.一维方势垒 隧道效应,一维方势阱如图,粒子沿 方向运动,当 粒子可以通过势垒。,当，实验证明粒子也能通过势垒,这只有由量子力学得到解释。,设三个区域的波函数分别为,在各区域薛定谔方程分别为,解为：,三个区域中波函数的情况如图所示：,隧道效应,在粒子总能量低于势垒壁高的情况下,粒子有一定的概率穿透势垒.此现象称为隧道效应。,贯穿势垒的概率定义为在 处透射波的强度与入射波的强度之比：,贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。,扫描隧道显微镜(STM),原理：利用电子的隧道效应。,金属样品外表面有一层电子云，电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减，将原子线度的极细的金属探针靠近样品，并在它们之间加上微小的电压，其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离及其敏感，如果控制隧道电流保持恒定，针尖的在垂直于样品方向的变化，就反映出样品表面情况。,48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。,STM的横向分辨率已达，纵向分辨达,STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。,
